Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17014 / 10938
↖ ↑ ↗
← N 51.220647°
E  6.921387°		 ← 765.10 m → N 51.220647°
E  6.932373°		 →
↑
765.16 m
↓
↑
765.16 m
↓
N 51.213766°
E  6.921387°		 ← 765.22 m →
585 466 m²		 N 51.213766°
E  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519241333007812 y=0.333816528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519241333007812 × 215)
    floor (0.519241333007812 × 32768)
    floor (17014.5)     		tx = 17014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333816528320312 × 215)
    floor (0.333816528320312 × 32768)
    floor (10938.5)     		ty = 10938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17014 / 10938 ti = "15/17014/10938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17014/10938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17014 ÷ 215
    17014 ÷ 32768     		x = 0.51922607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10938 ÷ 215
    10938 ÷ 32768     		y = 0.33380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51922607421875 × 2 - 1) × π
    0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33380126953125 × 2 - 1) × π
    0.3323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0442574213233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12080099} λ = 0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0442574213233))-π/2
    2×atan(2.84128786030254)-π/2
    2×1.23238263471978-π/2
    2.46476526943956-1.57079632675     		φ = 0.89396894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89396894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.220647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17014 KachelY 10938 0.12080099 0.89396894 6.921387 51.220647
    Oben rechts KachelX + 1 17015 KachelY 10938 0.12099273 0.89396894 6.932373 51.220647
    Unten links KachelX 17014 KachelY + 1 10939 0.12080099 0.89384884 6.921387 51.213766
    Unten rechts KachelX + 1 17015 KachelY + 1 10939 0.12099273 0.89384884 6.932373 51.213766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89396894-0.89384884) × R
    0.000120100000000067 × 6371000     		dl = 765.157100000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89396894-0.89384884) × R
    0.000120100000000067 × 6371000     		dr = 765.157100000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(0.89396894) × R
    0.00019174000000001 × 0.626322926134076 × 6371000     		do = 765.100766706653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12080099-0.12099273) × cos(0.89384884) × R
    0.00019174000000001 × 0.626416547219476 × 6371000     		du = 765.215131934605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89396894)-sin(0.89384884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626322926134076-0.626416547219476)×R²
    abs(0.12099273-0.12080099)×9.36210853995645e-05×R²
    0.00019174000000001×9.36210853995645e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.36210853995645e-05×40589641000000     		ar = 585466.038248299m²