Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17020 / 10892
↖ ↑ ↗
← N 51.536086°
E  6.987305°		 ← 759.89 m → N 51.536086°
E  6.998291°		 →
↑
759.93 m
↓
↑
759.93 m
↓
N 51.529252°
E  6.987305°		 ← 760 m →
577 506 m²		 N 51.529252°
E  6.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519424438476562 y=0.332412719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519424438476562 × 215)
    floor (0.519424438476562 × 32768)
    floor (17020.5)     		tx = 17020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332412719726562 × 215)
    floor (0.332412719726562 × 32768)
    floor (10892.5)     		ty = 10892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17020 / 10892 ti = "15/17020/10892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17020/10892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17020 ÷ 215
    17020 ÷ 32768     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10892 ÷ 215
    10892 ÷ 32768     		y = 0.3323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3323974609375 × 2 - 1) × π
    0.335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05307781085339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05307781085339))-π/2
    2×atan(2.86645997673617)-π/2
    2×1.23513535205848-π/2
    2.47027070411696-1.57079632675     		φ = 0.89947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.536086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17020 KachelY 10892 0.12195147 0.89947438 6.987305 51.536086
    Oben rechts KachelX + 1 17021 KachelY 10892 0.12214322 0.89947438 6.998291 51.536086
    Unten links KachelX 17020 KachelY + 1 10893 0.12195147 0.89935510 6.987305 51.529252
    Unten rechts KachelX + 1 17021 KachelY + 1 10893 0.12214322 0.89935510 6.998291 51.529252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89947438-0.89935510) × R
    0.000119280000000055 × 6371000     		dl = 759.93288000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89947438-0.89935510) × R
    0.000119280000000055 × 6371000     		dr = 759.93288000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12214322) × cos(0.89947438) × R
    0.000191749999999991 × 0.622021614673869 × 6371000     		do = 759.886018833937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12214322) × cos(0.89935510) × R
    0.000191749999999991 × 0.622115006497119 × 6371000     		du = 760.000109950848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89947438)-sin(0.89935510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622021614673869-0.622115006497119)×R²
    abs(0.12214322-0.12195147)×9.33918232498554e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33918232498554e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33918232498554e-05×40589641000000     		ar = 577505.722245381m²