Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17023 / 10881
↖ ↑ ↗
← N 51.611195°
E  7.020264°		 ← 758.59 m → N 51.611195°
E  7.031250°		 →
↑
758.72 m
↓
↑
758.72 m
↓
N 51.604371°
E  7.020264°		 ← 758.71 m →
575 604 m²		 N 51.604371°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519515991210938 y=0.332077026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519515991210938 × 215)
    floor (0.519515991210938 × 32768)
    floor (17023.5)     		tx = 17023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332077026367188 × 215)
    floor (0.332077026367188 × 32768)
    floor (10881.5)     		ty = 10881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17023 / 10881 ti = "15/17023/10881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17023/10881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17023 ÷ 215
    17023 ÷ 32768     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10881 ÷ 215
    10881 ÷ 32768     		y = 0.332061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332061767578125 × 2 - 1) × π
    0.33587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05518703443668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05518703443668))-π/2
    2×atan(2.87251236239308)-π/2
    2×1.23579080180833-π/2
    2.47158160361667-1.57079632675     		φ = 0.90078528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90078528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.611195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17023 KachelY 10881 0.12252672 0.90078528 7.020264 51.611195
    Oben rechts KachelX + 1 17024 KachelY 10881 0.12271846 0.90078528 7.031250 51.611195
    Unten links KachelX 17023 KachelY + 1 10882 0.12252672 0.90066619 7.020264 51.604371
    Unten rechts KachelX + 1 17024 KachelY + 1 10882 0.12271846 0.90066619 7.031250 51.604371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90078528-0.90066619) × R
    0.000119089999999988 × 6371000     		dl = 758.722389999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90078528-0.90066619) × R
    0.000119089999999988 × 6371000     		dr = 758.722389999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12271846) × cos(0.90078528) × R
    0.000191739999999996 × 0.620994645715848 × 6371000     		do = 758.591869677429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12271846) × cos(0.90066619) × R
    0.000191739999999996 × 0.621087985817259 × 6371000     		du = 758.705891662214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90078528)-sin(0.90066619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620994645715848-0.621087985817259)×R²
    abs(0.12271846-0.12252672)×9.33401014113766e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33401014113766e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33401014113766e-05×40589641000000     		ar = 575603.892592935m²