Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17023 / 10882
↖ ↑ ↗
← N 51.604371°
E  7.020264°		 ← 758.71 m → N 51.604371°
E  7.031250°		 →
↑
758.79 m
↓
↑
758.79 m
↓
N 51.597548°
E  7.020264°		 ← 758.82 m →
575 739 m²		 N 51.597548°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519515991210938 y=0.332107543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519515991210938 × 215)
    floor (0.519515991210938 × 32768)
    floor (17023.5)     		tx = 17023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332107543945312 × 215)
    floor (0.332107543945312 × 32768)
    floor (10882.5)     		ty = 10882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17023 / 10882 ti = "15/17023/10882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17023/10882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17023 ÷ 215
    17023 ÷ 32768     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10882 ÷ 215
    10882 ÷ 32768     		y = 0.33209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33209228515625 × 2 - 1) × π
    0.3358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0549952868382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0549952868382))-π/2
    2×atan(2.87196161784965)-π/2
    2×1.23573126021796-π/2
    2.47146252043593-1.57079632675     		φ = 0.90066619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90066619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.604371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17023 KachelY 10882 0.12252672 0.90066619 7.020264 51.604371
    Oben rechts KachelX + 1 17024 KachelY 10882 0.12271846 0.90066619 7.031250 51.604371
    Unten links KachelX 17023 KachelY + 1 10883 0.12252672 0.90054709 7.020264 51.597548
    Unten rechts KachelX + 1 17024 KachelY + 1 10883 0.12271846 0.90054709 7.031250 51.597548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90066619-0.90054709) × R
    0.000119100000000039 × 6371000     		dl = 758.786100000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90066619-0.90054709) × R
    0.000119100000000039 × 6371000     		dr = 758.786100000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12271846) × cos(0.90066619) × R
    0.000191739999999996 × 0.621087985817259 × 6371000     		do = 758.705891662214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12271846) × cos(0.90054709) × R
    0.000191739999999996 × 0.621181324946804 × 6371000     		du = 758.819912459791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90066619)-sin(0.90054709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621087985817259-0.621181324946804)×R²
    abs(0.12271846-0.12252672)×9.33391295444563e-05×R²
    0.000191739999999996×9.33391295444563e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.33391295444563e-05×40589641000000     		ar = 575738.743959941m²