Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17024 / 10624
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  7.031250°		 ← 729.55 m → N 53.330873°
E  7.042236°		 →
↑
729.61 m
↓
↑
729.61 m
↓
N 53.324312°
E  7.031250°		 ← 729.67 m →
532 329 m²		 N 53.324312°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519546508789062 y=0.324234008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519546508789062 × 215)
    floor (0.519546508789062 × 32768)
    floor (17024.5)     		tx = 17024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324234008789062 × 215)
    floor (0.324234008789062 × 32768)
    floor (10624.5)     		ty = 10624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17024 / 10624 ti = "15/17024/10624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17024/10624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17024 ÷ 215
    17024 ÷ 32768     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10624 ÷ 215
    10624 ÷ 32768     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17024 KachelY 10624 0.12271846 0.93079933 7.031250 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 17025 KachelY 10624 0.12291021 0.93079933 7.042236 53.330873
    Unten links KachelX 17024 KachelY + 1 10625 0.12271846 0.93068481 7.031250 53.324312
    Unten rechts KachelX + 1 17025 KachelY + 1 10625 0.12291021 0.93068481 7.042236 53.324312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.93068481) × R
    0.000114520000000007 × 6371000     		dl = 729.606920000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.93068481) × R
    0.000114520000000007 × 6371000     		dr = 729.606920000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12291021) × cos(0.93079933) × R
    0.000191750000000004 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 729.554448330528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12291021) × cos(0.93068481) × R
    0.000191750000000004 × 0.597284884796966 × 6371000     		du = 729.666658699719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.93068481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.597284884796966)×R²
    abs(0.12291021-0.12271846)×9.18522953406997e-05×R²
    0.000191750000000004×9.18522953406997e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.18522953406997e-05×40589641000000     		ar = 532328.909332075m²