Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17026 / 10883
↖ ↑ ↗
← N 51.597548°
E  7.053223°		 ← 758.86 m → N 51.597548°
E  7.064209°		 →
↑
758.91 m
↓
↑
758.91 m
↓
N 51.590722°
E  7.053223°		 ← 758.97 m →
575 952 m²		 N 51.590722°
E  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519607543945312 y=0.332138061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519607543945312 × 215)
    floor (0.519607543945312 × 32768)
    floor (17026.5)     		tx = 17026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332138061523438 × 215)
    floor (0.332138061523438 × 32768)
    floor (10883.5)     		ty = 10883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17026 / 10883 ti = "15/17026/10883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17026/10883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17026 ÷ 215
    17026 ÷ 32768     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10883 ÷ 215
    10883 ÷ 32768     		y = 0.332122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332122802734375 × 2 - 1) × π
    0.33575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05480353923972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05480353923972))-π/2
    2×atan(2.87141097890003)-π/2
    2×1.23567170967899-π/2
    2.47134341935798-1.57079632675     		φ = 0.90054709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90054709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.597548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17026 KachelY 10883 0.12310196 0.90054709 7.053223 51.597548
    Oben rechts KachelX + 1 17027 KachelY 10883 0.12329371 0.90054709 7.064209 51.597548
    Unten links KachelX 17026 KachelY + 1 10884 0.12310196 0.90042797 7.053223 51.590722
    Unten rechts KachelX + 1 17027 KachelY + 1 10884 0.12329371 0.90042797 7.064209 51.590722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90054709-0.90042797) × R
    0.000119120000000028 × 6371000     		dl = 758.913520000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90054709-0.90042797) × R
    0.000119120000000028 × 6371000     		dr = 758.913520000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12329371) × cos(0.90054709) × R
    0.000191750000000004 × 0.621181324946804 × 6371000     		do = 758.859487922037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12329371) × cos(0.90042797) × R
    0.000191750000000004 × 0.621274670936867 × 6371000     		du = 758.973523047328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90054709)-sin(0.90042797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621181324946804-0.621274670936867)×R²
    abs(0.12329371-0.12310196)×9.3345990062832e-05×R²
    0.000191750000000004×9.3345990062832e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.3345990062832e-05×40589641000000     		ar = 575951.997244872m²