Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17028 / 10884
↖ ↑ ↗
← N 51.590722°
E  7.075195°		 ← 758.97 m → N 51.590722°
E  7.086182°		 →
↑
758.98 m
↓
↑
758.98 m
↓
N 51.583897°
E  7.075195°		 ← 759.09 m →
576 087 m²		 N 51.583897°
E  7.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519668579101562 y=0.332168579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519668579101562 × 215)
    floor (0.519668579101562 × 32768)
    floor (17028.5)     		tx = 17028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332168579101562 × 215)
    floor (0.332168579101562 × 32768)
    floor (10884.5)     		ty = 10884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17028 / 10884 ti = "15/17028/10884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17028/10884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17028 ÷ 215
    17028 ÷ 32768     		x = 0.5196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10884 ÷ 215
    10884 ÷ 32768     		y = 0.3321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3321533203125 × 2 - 1) × π
    0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12348545} λ = 0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05461179164124))-π/2
    2×atan(2.87086044552399)-π/2
    2×1.2356121501909-π/2
    2.47122430038181-1.57079632675     		φ = 0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17028 KachelY 10884 0.12348545 0.90042797 7.075195 51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 17029 KachelY 10884 0.12367720 0.90042797 7.086182 51.590722
    Unten links KachelX 17028 KachelY + 1 10885 0.12348545 0.90030884 7.075195 51.583897
    Unten rechts KachelX + 1 17029 KachelY + 1 10885 0.12367720 0.90030884 7.086182 51.583897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90042797-0.90030884) × R
    0.000119129999999967 × 6371000     		dl = 758.977229999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90042797-0.90030884) × R
    0.000119129999999967 × 6371000     		dr = 758.977229999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12348545-0.12367720) × cos(0.90042797) × R
    0.000191750000000004 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 758.973523047328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12348545-0.12367720) × cos(0.90030884) × R
    0.000191750000000004 × 0.621368015946495 × 6371000     		du = 759.087556974882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90042797)-sin(0.90030884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621368015946495)×R²
    abs(0.12367720-0.12348545)×9.33450096282096e-05×R²
    0.000191750000000004×9.33450096282096e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.33450096282096e-05×40589641000000     		ar = 576086.897423839m²