Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17030 / 10886
↖ ↑ ↗
← N 51.577069°
E  7.097168°		 ← 759.20 m → N 51.577069°
E  7.108155°		 →
↑
759.23 m
↓
↑
759.23 m
↓
N 51.570241°
E  7.097168°		 ← 759.32 m →
576 454 m²		 N 51.570241°
E  7.108155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519729614257812 y=0.332229614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519729614257812 × 215)
    floor (0.519729614257812 × 32768)
    floor (17030.5)     		tx = 17030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332229614257812 × 215)
    floor (0.332229614257812 × 32768)
    floor (10886.5)     		ty = 10886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17030 / 10886 ti = "15/17030/10886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17030/10886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17030 ÷ 215
    17030 ÷ 32768     		x = 0.51971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10886 ÷ 215
    10886 ÷ 32768     		y = 0.33221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51971435546875 × 2 - 1) × π
    0.0394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12386895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33221435546875 × 2 - 1) × π
    0.3355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05422829644427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12386895} λ = 0.12386895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05422829644427))-π/2
    2×atan(2.86975969541167)-π/2
    2×1.23549300436541-π/2
    2.47098600873083-1.57079632675     		φ = 0.90018968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12386895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90018968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.577069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17030 KachelY 10886 0.12386895 0.90018968 7.097168 51.577069
    Oben rechts KachelX + 1 17031 KachelY 10886 0.12406070 0.90018968 7.108155 51.577069
    Unten links KachelX 17030 KachelY + 1 10887 0.12386895 0.90007051 7.097168 51.570241
    Unten rechts KachelX + 1 17031 KachelY + 1 10887 0.12406070 0.90007051 7.108155 51.570241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90018968-0.90007051) × R
    0.000119169999999946 × 6371000     		dl = 759.232069999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90018968-0.90007051) × R
    0.000119169999999946 × 6371000     		dr = 759.232069999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12386895-0.12406070) × cos(0.90018968) × R
    0.000191749999999991 × 0.621461375641039 × 6371000     		do = 759.20160884205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12386895-0.12406070) × cos(0.90007051) × R
    0.000191749999999991 × 0.621554734345096 × 6371000     		du = 759.315659499254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90018968)-sin(0.90007051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621461375641039-0.621554734345096)×R²
    abs(0.12406070-0.12386895)×9.33587040561346e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33587040561346e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33587040561346e-05×40589641000000     		ar = 576453.505169047m²