Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17031 / 10889
↖ ↑ ↗
← N 51.556582°
E  7.108155°		 ← 759.50 m → N 51.556582°
E  7.119140°		 →
↑
759.61 m
↓
↑
759.61 m
↓
N 51.549751°
E  7.108155°		 ← 759.62 m →
576 974 m²		 N 51.549751°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519760131835938 y=0.332321166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519760131835938 × 215)
    floor (0.519760131835938 × 32768)
    floor (17031.5)     		tx = 17031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332321166992188 × 215)
    floor (0.332321166992188 × 32768)
    floor (10889.5)     		ty = 10889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17031 / 10889 ti = "15/17031/10889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17031/10889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17031 ÷ 215
    17031 ÷ 32768     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10889 ÷ 215
    10889 ÷ 32768     		y = 0.332305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332305908203125 × 2 - 1) × π
    0.33538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05365305364883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05365305364883))-π/2
    2×atan(2.86810936153908)-π/2
    2×1.23531421849639-π/2
    2.47062843699278-1.57079632675     		φ = 0.89983211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89983211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.556582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17031 KachelY 10889 0.12406070 0.89983211 7.108155 51.556582
    Oben rechts KachelX + 1 17032 KachelY 10889 0.12425244 0.89983211 7.119140 51.556582
    Unten links KachelX 17031 KachelY + 1 10890 0.12406070 0.89971288 7.108155 51.549751
    Unten rechts KachelX + 1 17032 KachelY + 1 10890 0.12425244 0.89971288 7.119140 51.549751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89983211-0.89971288) × R
    0.000119229999999915 × 6371000     		dl = 759.614329999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89983211-0.89971288) × R
    0.000119229999999915 × 6371000     		dr = 759.614329999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(0.89983211) × R
    0.00019174000000001 × 0.621741472264228 × 6371000     		do = 759.504174721607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(0.89971288) × R
    0.00019174000000001 × 0.621834851467758 × 6371000     		du = 759.618244472585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89983211)-sin(0.89971288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621741472264228-0.621834851467758)×R²
    abs(0.12425244-0.12406070)×9.33792035304748e-05×R²
    0.00019174000000001×9.33792035304748e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.33792035304748e-05×40589641000000     		ar = 576973.580005162m²