Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17032 / 10632
↖ ↑ ↗
← N 53.278353°
E  7.119140°		 ← 730.45 m → N 53.278353°
E  7.130127°		 →
↑
730.50 m
↓
↑
730.50 m
↓
N 53.271783°
E  7.119140°		 ← 730.56 m →
533 636 m²		 N 53.271783°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519790649414062 y=0.324478149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519790649414062 × 215)
    floor (0.519790649414062 × 32768)
    floor (17032.5)     		tx = 17032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324478149414062 × 215)
    floor (0.324478149414062 × 32768)
    floor (10632.5)     		ty = 10632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17032 / 10632 ti = "15/17032/10632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17032/10632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17032 ÷ 215
    17032 ÷ 32768     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10632 ÷ 215
    10632 ÷ 32768     		y = 0.324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324462890625 × 2 - 1) × π
    0.35107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10293218645825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10293218645825))-π/2
    2×atan(3.01298772599729)-π/2
    2×1.25033950348592-π/2
    2.50067900697183-1.57079632675     		φ = 0.92988268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92988268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.278353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17032 KachelY 10632 0.12425244 0.92988268 7.119140 53.278353
    Oben rechts KachelX + 1 17033 KachelY 10632 0.12444419 0.92988268 7.130127 53.278353
    Unten links KachelX 17032 KachelY + 1 10633 0.12425244 0.92976802 7.119140 53.271783
    Unten rechts KachelX + 1 17033 KachelY + 1 10633 0.12444419 0.92976802 7.130127 53.271783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92988268-0.92976802) × R
    0.000114659999999933 × 6371000     		dl = 730.498859999574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92988268-0.92976802) × R
    0.000114659999999933 × 6371000     		dr = 730.498859999574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(0.92988268) × R
    0.000191749999999991 × 0.597928024224259 × 6371000     		do = 730.452343067269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(0.92976802) × R
    0.000191749999999991 × 0.598019925993382 × 6371000     		du = 730.564613875575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92988268)-sin(0.92976802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597928024224259-0.598019925993382)×R²
    abs(0.12444419-0.12425244)×9.19017691234369e-05×R²
    0.000191749999999991×9.19017691234369e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.19017691234369e-05×40589641000000     		ar = 533635.611327677m²