Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17032 / 10888
↖ ↑ ↗
← N 51.563412°
E  7.119140°		 ← 759.43 m → N 51.563412°
E  7.130127°		 →
↑
759.49 m
↓
↑
759.49 m
↓
N 51.556582°
E  7.119140°		 ← 759.54 m →
576 820 m²		 N 51.556582°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519790649414062 y=0.332290649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519790649414062 × 215)
    floor (0.519790649414062 × 32768)
    floor (17032.5)     		tx = 17032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332290649414062 × 215)
    floor (0.332290649414062 × 32768)
    floor (10888.5)     		ty = 10888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17032 / 10888 ti = "15/17032/10888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17032/10888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17032 ÷ 215
    17032 ÷ 32768     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10888 ÷ 215
    10888 ÷ 32768     		y = 0.332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332275390625 × 2 - 1) × π
    0.33544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05384480124731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05384480124731))-π/2
    2×atan(2.8686593673508)-π/2
    2×1.2353738227375-π/2
    2.470747645475-1.57079632675     		φ = 0.89995132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89995132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.563412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17032 KachelY 10888 0.12425244 0.89995132 7.119140 51.563412
    Oben rechts KachelX + 1 17033 KachelY 10888 0.12444419 0.89995132 7.130127 51.563412
    Unten links KachelX 17032 KachelY + 1 10889 0.12425244 0.89983211 7.119140 51.556582
    Unten rechts KachelX + 1 17033 KachelY + 1 10889 0.12444419 0.89983211 7.130127 51.556582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89995132-0.89983211) × R
    0.000119210000000036 × 6371000     		dl = 759.486910000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89995132-0.89983211) × R
    0.000119210000000036 × 6371000     		dr = 759.486910000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(0.89995132) × R
    0.000191749999999991 × 0.621648099888082 × 6371000     		do = 759.429718511165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(0.89983211) × R
    0.000191749999999991 × 0.621741472264228 × 6371000     		du = 759.543785870729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89995132)-sin(0.89983211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621648099888082-0.621741472264228)×R²
    abs(0.12444419-0.12425244)×9.33723761453731e-05×R²
    0.000191749999999991×9.33723761453731e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.33723761453731e-05×40589641000000     		ar = 576820.247290365m²