Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17056 / 10656
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E  7.382813°		 ← 733.11 m → N 53.120405°
E  7.393799°		 →
↑
733.17 m
↓
↑
733.17 m
↓
N 53.113812°
E  7.382813°		 ← 733.22 m →
537 539 m²		 N 53.113812°
E  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520523071289062 y=0.325210571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520523071289062 × 215)
    floor (0.520523071289062 × 32768)
    floor (17056.5)     		tx = 17056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325210571289062 × 215)
    floor (0.325210571289062 × 32768)
    floor (10656.5)     		ty = 10656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17056 / 10656 ti = "15/17056/10656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17056/10656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17056 ÷ 215
    17056 ÷ 32768     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10656 ÷ 215
    10656 ÷ 32768     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17056 KachelY 10656 0.12885439 0.92712597 7.382813 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 17057 KachelY 10656 0.12904613 0.92712597 7.393799 53.120405
    Unten links KachelX 17056 KachelY + 1 10657 0.12885439 0.92701089 7.382813 53.113812
    Unten rechts KachelX + 1 17057 KachelY + 1 10657 0.12904613 0.92701089 7.393799 53.113812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92701089) × R
    0.000115079999999934 × 6371000     		dl = 733.17467999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92701089) × R
    0.000115079999999934 × 6371000     		dr = 733.17467999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12904613) × cos(0.92712597) × R
    0.000191739999999996 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 733.110712876797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12904613) × cos(0.92701089) × R
    0.000191739999999996 × 0.600227438145501 × 6371000     		du = 733.223156875391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92701089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.600227438145501)×R²
    abs(0.12904613-0.12885439)×9.20483383237691e-05×R²
    0.000191739999999996×9.20483383237691e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.20483383237691e-05×40589641000000     		ar = 537539.433457411m²