Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17056 / 11168
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E  7.382813°		 ← 791.55 m → N 49.610710°
E  7.393799°		 →
↑
791.60 m
↓
↑
791.60 m
↓
N 49.603591°
E  7.382813°		 ← 791.67 m →
626 637 m²		 N 49.603591°
E  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520523071289062 y=0.340835571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520523071289062 × 215)
    floor (0.520523071289062 × 32768)
    floor (17056.5)     		tx = 17056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340835571289062 × 215)
    floor (0.340835571289062 × 32768)
    floor (11168.5)     		ty = 11168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17056 / 11168 ti = "15/17056/11168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17056/11168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17056 ÷ 215
    17056 ÷ 32768     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11168 ÷ 215
    11168 ÷ 32768     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17056 KachelY 11168 0.12885439 0.86587023 7.382813 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 17057 KachelY 11168 0.12904613 0.86587023 7.393799 49.610710
    Unten links KachelX 17056 KachelY + 1 11169 0.12885439 0.86574598 7.382813 49.603591
    Unten rechts KachelX + 1 17057 KachelY + 1 11169 0.12904613 0.86574598 7.393799 49.603591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86574598) × R
    0.000124249999999937 × 6371000     		dl = 791.596749999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86574598) × R
    0.000124249999999937 × 6371000     		dr = 791.596749999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12904613) × cos(0.86587023) × R
    0.000191739999999996 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 791.553516059009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12904613) × cos(0.86574598) × R
    0.000191739999999996 × 0.64807217341486 × 6371000     		du = 791.669115198215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86574598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.64807217341486)×R²
    abs(0.12904613-0.12885439)×9.463118359887e-05×R²
    0.000191739999999996×9.463118359887e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.463118359887e-05×40589641000000     		ar = 626636.945520679m²