Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17087 / 10815
↖ ↑ ↗
← N 52.059246°
E  7.723389°		 ← 751.12 m → N 52.059246°
E  7.734375°		 →
↑
751.20 m
↓
↑
751.20 m
↓
N 52.052490°
E  7.723389°		 ← 751.23 m →
564 288 m²		 N 52.052490°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521469116210938 y=0.330062866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521469116210938 × 215)
    floor (0.521469116210938 × 32768)
    floor (17087.5)     		tx = 17087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330062866210938 × 215)
    floor (0.330062866210938 × 32768)
    floor (10815.5)     		ty = 10815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17087 / 10815 ti = "15/17087/10815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17087/10815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17087 ÷ 215
    17087 ÷ 32768     		x = 0.521453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10815 ÷ 215
    10815 ÷ 32768     		y = 0.330047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521453857421875 × 2 - 1) × π
    0.04290771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13479856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330047607421875 × 2 - 1) × π
    0.33990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06784237593637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13479856} λ = 0.13479856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06784237593637))-π/2
    2×atan(2.90909598817902)-π/2
    2×1.23970078683199-π/2
    2.47940157366398-1.57079632675     		φ = 0.90860525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13479856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90860525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.059246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17087 KachelY 10815 0.13479856 0.90860525 7.723389 52.059246
    Oben rechts KachelX + 1 17088 KachelY 10815 0.13499031 0.90860525 7.734375 52.059246
    Unten links KachelX 17087 KachelY + 1 10816 0.13479856 0.90848734 7.723389 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 17088 KachelY + 1 10816 0.13499031 0.90848734 7.734375 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90860525-0.90848734) × R
    0.000117910000000054 × 6371000     		dl = 751.204610000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90860525-0.90848734) × R
    0.000117910000000054 × 6371000     		dr = 751.204610000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13479856-0.13499031) × cos(0.90860525) × R
    0.000191749999999991 × 0.61484631250456 × 6371000     		do = 751.120388073299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13479856-0.13499031) × cos(0.90848734) × R
    0.000191749999999991 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 751.233982306031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90860525)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61484631250456-0.614939297592205)×R²
    abs(0.13499031-0.13479856)×9.29850876453253e-05×R²
    0.000191749999999991×9.29850876453253e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.29850876453253e-05×40589641000000     		ar = 564287.765095291m²