Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17087 / 11071
↖ ↑ ↗
← N 50.296358°
E  7.723389°		 ← 780.40 m → N 50.296358°
E  7.734375°		 →
↑
780.45 m
↓
↑
780.45 m
↓
N 50.289339°
E  7.723389°		 ← 780.52 m →
609 109 m²		 N 50.289339°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521469116210938 y=0.337875366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521469116210938 × 215)
    floor (0.521469116210938 × 32768)
    floor (17087.5)     		tx = 17087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337875366210938 × 215)
    floor (0.337875366210938 × 32768)
    floor (11071.5)     		ty = 11071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17087 / 11071 ti = "15/17087/11071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17087/11071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17087 ÷ 215
    17087 ÷ 32768     		x = 0.521453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11071 ÷ 215
    11071 ÷ 32768     		y = 0.337860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521453857421875 × 2 - 1) × π
    0.04290771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13479856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337860107421875 × 2 - 1) × π
    0.32427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01875499072543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13479856} λ = 0.13479856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01875499072543))-π/2
    2×atan(2.76974425916393)-π/2
    2×1.2243166880032-π/2
    2.44863337600641-1.57079632675     		φ = 0.87783705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13479856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.723389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87783705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.296358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17087 KachelY 11071 0.13479856 0.87783705 7.723389 50.296358
    Oben rechts KachelX + 1 17088 KachelY 11071 0.13499031 0.87783705 7.734375 50.296358
    Unten links KachelX 17087 KachelY + 1 11072 0.13479856 0.87771455 7.723389 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 17088 KachelY + 1 11072 0.13499031 0.87771455 7.734375 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87783705-0.87771455) × R
    0.000122500000000025 × 6371000     		dl = 780.447500000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87783705-0.87771455) × R
    0.000122500000000025 × 6371000     		dr = 780.447500000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13479856-0.13499031) × cos(0.87783705) × R
    0.000191749999999991 × 0.638816722148531 × 6371000     		do = 780.403581332951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13479856-0.13499031) × cos(0.87771455) × R
    0.000191749999999991 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 780.518710665955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87783705)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638816722148531-0.638910963826672)×R²
    abs(0.13499031-0.13479856)×9.42416781416489e-05×R²
    0.000191749999999991×9.42416781416489e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.42416781416489e-05×40589641000000     		ar = 609108.951004742m²