Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17096 / 11080
↖ ↑ ↗
← N 50.233152°
E  7.822266°		 ← 781.44 m → N 50.233152°
E  7.833252°		 →
↑
781.47 m
↓
↑
781.47 m
↓
N 50.226124°
E  7.822266°		 ← 781.56 m →
610 714 m²		 N 50.226124°
E  7.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521743774414062 y=0.338150024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521743774414062 × 215)
    floor (0.521743774414062 × 32768)
    floor (17096.5)     		tx = 17096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338150024414062 × 215)
    floor (0.338150024414062 × 32768)
    floor (11080.5)     		ty = 11080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17096 / 11080 ti = "15/17096/11080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17096/11080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17096 ÷ 215
    17096 ÷ 32768     		x = 0.521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11080 ÷ 215
    11080 ÷ 32768     		y = 0.338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521728515625 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338134765625 × 2 - 1) × π
    0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13652429} λ = 0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01702926233911))-π/2
    2×atan(2.76496855484252)-π/2
    2×1.22376510995358-π/2
    2.44753021990717-1.57079632675     		φ = 0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17096 KachelY 11080 0.13652429 0.87673389 7.822266 50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 17097 KachelY 11080 0.13671604 0.87673389 7.833252 50.233152
    Unten links KachelX 17096 KachelY + 1 11081 0.13652429 0.87661123 7.822266 50.226124
    Unten rechts KachelX + 1 17097 KachelY + 1 11081 0.13671604 0.87661123 7.833252 50.226124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87673389-0.87661123) × R
    0.000122660000000052 × 6371000     		dl = 781.466860000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87673389-0.87661123) × R
    0.000122660000000052 × 6371000     		dr = 781.466860000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13652429-0.13671604) × cos(0.87673389) × R
    0.000191750000000018 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 781.439943281084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13652429-0.13671604) × cos(0.87661123) × R
    0.000191750000000018 × 0.639759337547655 × 6371000     		du = 781.555117302289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87673389)-sin(0.87661123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.639759337547655)×R²
    abs(0.13671604-0.13652429)×9.42782586638158e-05×R²
    0.000191750000000018×9.42782586638158e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.42782586638158e-05×40589641000000     		ar = 610714.42186119m²