Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17412 / 11268
↖ ↑ ↗
← N 48.893615°
E 11.293945°		 ← 803.18 m → N 48.893615°
E 11.304932°		 →
↑
803.19 m
↓
↑
803.19 m
↓
N 48.886392°
E 11.293945°		 ← 803.29 m →
645 153 m²		 N 48.886392°
E 11.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531387329101562 y=0.343887329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531387329101562 × 215)
    floor (0.531387329101562 × 32768)
    floor (17412.5)     		tx = 17412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343887329101562 × 215)
    floor (0.343887329101562 × 32768)
    floor (11268.5)     		ty = 11268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17412 / 11268 ti = "15/17412/11268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17412/11268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17412 ÷ 215
    17412 ÷ 32768     		x = 0.5313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11268 ÷ 215
    11268 ÷ 32768     		y = 0.3438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3438720703125 × 2 - 1) × π
    0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19711653} λ = 0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980980713824829))-π/2
    2×atan(2.66707059275699)-π/2
    2×1.21207544901898-π/2
    2.42415089803797-1.57079632675     		φ = 0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17412 KachelY 11268 0.19711653 0.85335457 11.293945 48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 17413 KachelY 11268 0.19730828 0.85335457 11.304932 48.893615
    Unten links KachelX 17412 KachelY + 1 11269 0.19711653 0.85322850 11.293945 48.886392
    Unten rechts KachelX + 1 17413 KachelY + 1 11269 0.19730828 0.85322850 11.304932 48.886392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85335457-0.85322850) × R
    0.000126070000000089 × 6371000     		dl = 803.191970000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85335457-0.85322850) × R
    0.000126070000000089 × 6371000     		dr = 803.191970000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19711653-0.19730828) × cos(0.85335457) × R
    0.000191749999999991 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 803.177981664811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19711653-0.19730828) × cos(0.85322850) × R
    0.000191749999999991 × 0.657554201741365 × 6371000     		du = 803.294021849631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85335457)-sin(0.85322850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657554201741365)×R²
    abs(0.19730828-0.19711653)×9.49872761698556e-05×R²
    0.000191749999999991×9.49872761698556e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.49872761698556e-05×40589641000000     		ar = 645152.707481513m²