Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17665 / 10495
↖ ↑ ↗
← N 54.168866°
E 14.073486°		 ← 715.15 m → N 54.168866°
E 14.084473°		 →
↑
715.21 m
↓
↑
715.21 m
↓
N 54.162434°
E 14.073486°		 ← 715.26 m →
511 518 m²		 N 54.162434°
E 14.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539108276367188 y=0.320297241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539108276367188 × 215)
    floor (0.539108276367188 × 32768)
    floor (17665.5)     		tx = 17665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320297241210938 × 215)
    floor (0.320297241210938 × 32768)
    floor (10495.5)     		ty = 10495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17665 / 10495 ti = "15/17665/10495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17665/10495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17665 ÷ 215
    17665 ÷ 32768     		x = 0.539093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10495 ÷ 215
    10495 ÷ 32768     		y = 0.320281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539093017578125 × 2 - 1) × π
    0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320281982421875 × 2 - 1) × π
    0.35943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12920160745004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24562867} λ = 0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12920160745004))-π/2
    2×atan(3.09318593740845)-π/2
    2×1.25811069392958-π/2
    2.51622138785917-1.57079632675     		φ = 0.94542506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94542506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.168866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17665 KachelY 10495 0.24562867 0.94542506 14.073486 54.168866
    Oben rechts KachelX + 1 17666 KachelY 10495 0.24582042 0.94542506 14.084473 54.168866
    Unten links KachelX 17665 KachelY + 1 10496 0.24562867 0.94531280 14.073486 54.162434
    Unten rechts KachelX + 1 17666 KachelY + 1 10496 0.24582042 0.94531280 14.084473 54.162434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94542506-0.94531280) × R
    0.000112260000000086 × 6371000     		dl = 715.208460000549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94542506-0.94531280) × R
    0.000112260000000086 × 6371000     		dr = 715.208460000549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24562867-0.24582042) × cos(0.94542506) × R
    0.000191750000000018 × 0.585398316287083 × 6371000     		do = 715.145560060283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24562867-0.24582042) × cos(0.94531280) × R
    0.000191750000000018 × 0.585489326925804 × 6371000     		du = 715.256742228713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94542506)-sin(0.94531280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585398316287083-0.585489326925804)×R²
    abs(0.24582042-0.24562867)×9.10106387217446e-05×R²
    0.000191750000000018×9.10106387217446e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.10106387217446e-05×40589641000000     		ar = 511517.914437252m²