Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1791 / 1281
↖ ↑ ↗
← N 55.727110°
W 22.587890°		 ← 5 503.51 m → N 55.727110°
W 22.500000°		 →
↑
5 506.96 m
↓
↑
5 506.96 m
↓
N 55.677585°
W 22.587890°		 ← 5 510.49 m →
30 326 865 m²		 N 55.677585°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4373779296875 y=0.3128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4373779296875 × 212)
    floor (0.4373779296875 × 4096)
    floor (1791.5)     		tx = 1791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3128662109375 × 212)
    floor (0.3128662109375 × 4096)
    floor (1281.5)     		ty = 1281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1791 / 1281 ti = "12/1791/1281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1791/1281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1791 ÷ 212
    1791 ÷ 4096     		x = 0.437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1281 ÷ 212
    1281 ÷ 4096     		y = 0.312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312744140625 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17656326427466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39423306} λ = -0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17656326427466))-π/2
    2×atan(3.24320897575996)-π/2
    2×1.27170894019067-π/2
    2.54341788038135-1.57079632675     		φ = 0.97262155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97262155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.727110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1791 KachelY 1281 -0.39423306 0.97262155 -22.587890 55.727110
    Oben rechts KachelX + 1 1792 KachelY 1281 -0.39269908 0.97262155 -22.500000 55.727110
    Unten links KachelX 1791 KachelY + 1 1282 -0.39423306 0.97175717 -22.587890 55.677585
    Unten rechts KachelX + 1 1792 KachelY + 1 1282 -0.39269908 0.97175717 -22.500000 55.677585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97262155-0.97175717) × R
    0.000864379999999998 × 6371000     		dl = 5506.96497999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97262155-0.97175717) × R
    0.000864379999999998 × 6371000     		dr = 5506.96497999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39423306--0.39269908) × cos(0.97262155) × R
    0.00153398000000005 × 0.563135111979201 × 6371000     		do = 5503.51189209969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39423306--0.39269908) × cos(0.97175717) × R
    0.00153398000000005 × 0.563849194755044 × 6371000     		du = 5510.49061348501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97262155)-sin(0.97175717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563135111979201-0.563849194755044)×R²
    abs(-0.39269908--0.39423306)×0.000714082775843061×R²
    0.00153398000000005×0.000714082775843061×6371000²
    0.00153398000000005×0.000714082775843061×40589641000000     		ar = 30326864.9321769m²