Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17919 / 11777
↖ ↑ ↗
← N 45.081278°
E 16.864013°		 ← 862.60 m → N 45.081278°
E 16.875000°		 →
↑
862.63 m
↓
↑
862.63 m
↓
N 45.073521°
E 16.864013°		 ← 862.72 m →
744 161 m²		 N 45.073521°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546859741210938 y=0.359420776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546859741210938 × 215)
    floor (0.546859741210938 × 32768)
    floor (17919.5)     		tx = 17919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359420776367188 × 215)
    floor (0.359420776367188 × 32768)
    floor (11777.5)     		ty = 11777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17919 / 11777 ti = "15/17919/11777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17919/11777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17919 ÷ 215
    17919 ÷ 32768     		x = 0.546844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11777 ÷ 215
    11777 ÷ 32768     		y = 0.359405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546844482421875 × 2 - 1) × π
    0.09368896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29433256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359405517578125 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.883381186198395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29433256} λ = 0.29433256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883381186198395))-π/2
    2×atan(2.41906520398482)-π/2
    2×1.17880653478634-π/2
    2.35761306957268-1.57079632675     		φ = 0.78681674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29433256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.864013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78681674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.081278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17919 KachelY 11777 0.29433256 0.78681674 16.864013 45.081278
    Oben rechts KachelX + 1 17920 KachelY 11777 0.29452431 0.78681674 16.875000 45.081278
    Unten links KachelX 17919 KachelY + 1 11778 0.29433256 0.78668134 16.864013 45.073521
    Unten rechts KachelX + 1 17920 KachelY + 1 11778 0.29452431 0.78668134 16.875000 45.073521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78681674-0.78668134) × R
    0.000135400000000008 × 6371000     		dl = 862.633400000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78681674-0.78668134) × R
    0.000135400000000008 × 6371000     		dr = 862.633400000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29433256-0.29452431) × cos(0.78681674) × R
    0.000191749999999991 × 0.706102984911246 × 6371000     		do = 862.603120909694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29433256-0.29452431) × cos(0.78668134) × R
    0.000191749999999991 × 0.706198856417924 × 6371000     		du = 862.720241305208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78681674)-sin(0.78668134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706102984911246-0.706198856417924)×R²
    abs(0.29452431-0.29433256)×9.58715066781135e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58715066781135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58715066781135e-05×40589641000000     		ar = 744160.780160519m²