Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17924 / 10756
↖ ↑ ↗
← N 52.456010°
E 16.918945°		 ← 744.43 m → N 52.456010°
E 16.929932°		 →
↑
744.52 m
↓
↑
744.52 m
↓
N 52.449314°
E 16.918945°		 ← 744.54 m →
554 282 m²		 N 52.449314°
E 16.929932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547012329101562 y=0.328262329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547012329101562 × 215)
    floor (0.547012329101562 × 32768)
    floor (17924.5)     		tx = 17924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328262329101562 × 215)
    floor (0.328262329101562 × 32768)
    floor (10756.5)     		ty = 10756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17924 / 10756 ti = "15/17924/10756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17924/10756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17924 ÷ 215
    17924 ÷ 32768     		x = 0.5469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10756 ÷ 215
    10756 ÷ 32768     		y = 0.3282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5469970703125 × 2 - 1) × π
    0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3282470703125 × 2 - 1) × π
    0.343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0791554842467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29529130} λ = 0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0791554842467))-π/2
    2×atan(2.94219377258352)-π/2
    2×1.24316320156738-π/2
    2.48632640313475-1.57079632675     		φ = 0.91553008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91553008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.456010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17924 KachelY 10756 0.29529130 0.91553008 16.918945 52.456010
    Oben rechts KachelX + 1 17925 KachelY 10756 0.29548305 0.91553008 16.929932 52.456010
    Unten links KachelX 17924 KachelY + 1 10757 0.29529130 0.91541322 16.918945 52.449314
    Unten rechts KachelX + 1 17925 KachelY + 1 10757 0.29548305 0.91541322 16.929932 52.449314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91553008-0.91541322) × R
    0.000116859999999996 × 6371000     		dl = 744.515059999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91553008-0.91541322) × R
    0.000116859999999996 × 6371000     		dr = 744.515059999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29529130-0.29548305) × cos(0.91553008) × R
    0.000191750000000046 × 0.609370368205133 × 6371000     		do = 744.430759586521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29529130-0.29548305) × cos(0.91541322) × R
    0.000191750000000046 × 0.609463020668518 × 6371000     		du = 744.543947472402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91553008)-sin(0.91541322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609370368205133-0.609463020668518)×R²
    abs(0.29548305-0.29529130)×9.265246338519e-05×R²
    0.000191750000000046×9.265246338519e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.265246338519e-05×40589641000000     		ar = 554282.047312444m²