Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17928 / 9736
N 58.768200°
E 16.962891°
← 633.42 m → N 58.768200°
E 16.973877°

633.47 m

633.47 m
N 58.762503°
E 16.962891°
← 633.53 m →
401 286 m²
N 58.762503°
E 16.973877°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547134399414062 y=0.297134399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547134399414062 × 215)
    floor (0.547134399414062 × 32768)
    floor (17928.5)
    tx = 17928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297134399414062 × 215)
    floor (0.297134399414062 × 32768)
    floor (9736.5)
    ty = 9736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17928 / 9736 ti = "15/17928/9736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17928/9736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17928 ÷ 215
    17928 ÷ 32768
    x = 0.547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9736 ÷ 215
    9736 ÷ 32768
    y = 0.297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535
    Λ = 0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.297119140625 × 2 - 1) × π
    0.40576171875 × 3.1415926535
    Φ = 1.27473803469653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29605829} λ = 0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27473803469653))-π/2
    2×atan(3.5777640372856)-π/2
    2×1.2982474575129-π/2
    2.59649491502579-1.57079632675
    φ = 1.02569859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02569859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.768200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17928 KachelY 9736 0.29605829 1.02569859 16.962891 58.768200
    Oben rechts KachelX + 1 17929 KachelY 9736 0.29625004 1.02569859 16.973877 58.768200
    Unten links KachelX 17928 KachelY + 1 9737 0.29605829 1.02559916 16.962891 58.762503
    Unten rechts KachelX + 1 17929 KachelY + 1 9737 0.29625004 1.02559916 16.973877 58.762503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.02569859-1.02559916) × R
    9.94299999999004e-05 × 6371000
    dl = 633.468529999366m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.02569859-1.02559916) × R
    9.94299999999004e-05 × 6371000
    dr = 633.468529999366m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.29605829-0.29625004) × cos(1.02569859) × R
    0.000191749999999991 × 0.518501665428924 × 6371000
    do = 633.42198567831m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.29605829-0.29625004) × cos(1.02559916) × R
    0.000191749999999991 × 0.518586683133891 × 6371000
    du = 633.525846643643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.02569859)-sin(1.02559916))×
    abs(λ12)×abs(0.518501665428924-0.518586683133891)×
    abs(0.29625004-0.29605829)×8.50177049669387e-05×
    0.000191749999999991×8.50177049669387e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.50177049669387e-05×40589641000000
    ar = 401285.790794181m²