Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1799 / 1287
↖ ↑ ↗
← S 41.902277°
E136.230469°		 ← 14.548 km → S 41.902277°
E136.406250°		 →
↑
14.533 km
↓
↑
14.533 km
↓
S 42.032975°
E136.230469°		 ← 14.518 km →
211.205 km²		 S 42.032975°
E136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878662109375 y=0.628662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878662109375 × 211)
    floor (0.878662109375 × 2048)
    floor (1799.5)     		tx = 1799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628662109375 × 211)
    floor (0.628662109375 × 2048)
    floor (1287.5)     		ty = 1287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1799 / 1287 ti = "11/1799/1287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1799/1287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1799 ÷ 211
    1799 ÷ 2048     		x = 0.87841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1287 ÷ 211
    1287 ÷ 2048     		y = 0.62841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87841796875 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37767022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37767022} λ = 2.37767022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806873894404785))-π/2
    2×atan(0.446250915475452)-π/2
    2×0.419731814182209-π/2
    0.839463628364418-1.57079632675     		φ = -0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37767022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1799 KachelY 1287 2.37767022 -0.73133270 136.230469 -41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 1800 KachelY 1287 2.38073818 -0.73133270 136.406250 -41.902277
    Unten links KachelX 1799 KachelY + 1 1288 2.37767022 -0.73361380 136.230469 -42.032975
    Unten rechts KachelX + 1 1800 KachelY + 1 1288 2.38073818 -0.73361380 136.406250 -42.032975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73133270--0.73361380) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dl = 14532.8881000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73133270--0.73361380) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dr = 14532.8881000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37767022-2.38073818) × cos(-0.73133270) × R
    0.00306795999999965 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 14547.7747056571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37767022-2.38073818) × cos(-0.73361380) × R
    0.00306795999999965 × 0.74275960828728 × 6371000     		du = 14517.9593679136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73133270)-sin(-0.73361380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.74275960828728)×R²
    abs(2.38073818-2.37767022)×0.00152539541006036×R²
    0.00306795999999965×0.00152539541006036×6371000²
    0.00306795999999965×0.00152539541006036×40589641000000     		ar = 211204621.999925m²