Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1808 / 1296
↖ ↑ ↗
← N 54.977613°
W 21.093750°		 ← 5 608.68 m → N 54.977613°
W 21.005859°		 →
↑
5 612.21 m
↓
↑
5 612.21 m
↓
N 54.927142°
W 21.093750°		 ← 5 615.73 m →
31 496 904 m²		 N 54.927142°
W 21.005859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4415283203125 y=0.3165283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4415283203125 × 212)
    floor (0.4415283203125 × 4096)
    floor (1808.5)     		tx = 1808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3165283203125 × 212)
    floor (0.3165283203125 × 4096)
    floor (1296.5)     		ty = 1296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1808 / 1296 ti = "12/1808/1296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1808/1296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1808 ÷ 212
    1808 ÷ 4096     		x = 0.44140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1296 ÷ 212
    1296 ÷ 4096     		y = 0.31640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44140625 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31640625 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15355355245703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36815539} λ = -0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15355355245703))-π/2
    2×atan(3.16943567791621)-π/2
    2×1.26516835010953-π/2
    2.53033670021907-1.57079632675     		φ = 0.95954037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95954037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.977613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1808 KachelY 1296 -0.36815539 0.95954037 -21.093750 54.977613
    Oben rechts KachelX + 1 1809 KachelY 1296 -0.36662141 0.95954037 -21.005859 54.977613
    Unten links KachelX 1808 KachelY + 1 1297 -0.36815539 0.95865947 -21.093750 54.927142
    Unten rechts KachelX + 1 1809 KachelY + 1 1297 -0.36662141 0.95865947 -21.005859 54.927142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95954037-0.95865947) × R
    0.000880900000000073 × 6371000     		dl = 5612.21390000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95954037-0.95865947) × R
    0.000880900000000073 × 6371000     		dr = 5612.21390000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36815539--0.36662141) × cos(0.95954037) × R
    0.00153398000000005 × 0.573896450498898 × 6371000     		do = 5608.68230903553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36815539--0.36662141) × cos(0.95865947) × R
    0.00153398000000005 × 0.57461762130305 × 6371000     		du = 5615.7303016264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95954037)-sin(0.95865947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573896450498898-0.57461762130305)×R²
    abs(-0.36662141--0.36815539)×0.000721170804152682×R²
    0.00153398000000005×0.000721170804152682×6371000²
    0.00153398000000005×0.000721170804152682×40589641000000     		ar = 31496904.2732086m²