Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 184 / 56
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 78.750000°		 ← 51.907 km → N 70.612614°
E 80.156250°		 →
↑
52.512 km
↓
↑
52.512 km
↓
N 70.140365°
E 78.750000°		 ← 53.121 km →
2 757.61 km²		 N 70.140365°
E 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.720703125 y=0.220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.720703125 × 28)
    floor (0.720703125 × 256)
    floor (184.5)     		tx = 184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220703125 × 28)
    floor (0.220703125 × 256)
    floor (56.5)     		ty = 56
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 184 / 56 ti = "8/184/56"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/184/56.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 184 ÷ 28
    184 ÷ 256     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56 ÷ 28
    56 ÷ 256     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 184 KachelY 56 1.37444679 1.23242261 78.750000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 185 KachelY 56 1.39899048 1.23242261 80.156250 70.612614
    Unten links KachelX 184 KachelY + 1 57 1.37444679 1.22418030 78.750000 70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 185 KachelY + 1 57 1.39899048 1.22418030 80.156250 70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.22418030) × R
    0.00824230999999997 × 6371000     		dl = 52511.7570099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.22418030) × R
    0.00824230999999997 × 6371000     		dr = 52511.7570099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.39899048) × cos(1.23242261) × R
    0.02454369 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 51906.849401729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.39899048) × cos(1.22418030) × R
    0.02454369 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 53120.8225169951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.339717038125863)×R²
    abs(1.39899048-1.37444679)×0.0077635723910468×R²
    0.02454369×0.0077635723910468×6371000²
    0.02454369×0.0077635723910468×40589641000000     		ar = 2757609405.2499m²