Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18432 / 10240
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E 22.500000°		 ← 687.08 m → N 55.776573°
E 22.510986°		 →
↑
687.11 m
↓
↑
687.11 m
↓
N 55.770393°
E 22.500000°		 ← 687.19 m →
472 136 m²		 N 55.770393°
E 22.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562515258789062 y=0.312515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562515258789062 × 215)
    floor (0.562515258789062 × 32768)
    floor (18432.5)     		tx = 18432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312515258789062 × 215)
    floor (0.312515258789062 × 32768)
    floor (10240.5)     		ty = 10240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18432 / 10240 ti = "15/18432/10240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18432/10240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18432 ÷ 215
    18432 ÷ 32768     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10240 ÷ 215
    10240 ÷ 32768     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18432 KachelY 10240 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 18433 KachelY 10240 0.39289083 0.97348484 22.510986 55.776573
    Unten links KachelX 18432 KachelY + 1 10241 0.39269908 0.97337699 22.500000 55.770393
    Unten rechts KachelX + 1 18433 KachelY + 1 10241 0.39289083 0.97337699 22.510986 55.770393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.97337699) × R
    0.00010785000000002 × 6371000     		dl = 687.11235000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.97337699) × R
    0.00010785000000002 × 6371000     		dr = 687.11235000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39289083) × cos(0.97348484) × R
    0.000191750000000046 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 687.076191322028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39289083) × cos(0.97337699) × R
    0.000191750000000046 × 0.562510682297614 × 6371000     		du = 687.18512803921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.97337699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.562510682297614)×R²
    abs(0.39289083-0.39269908)×8.9172574622487e-05×R²
    0.000191750000000046×8.9172574622487e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.9172574622487e-05×40589641000000     		ar = 472135.962787828m²