Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18432 / 6145
↖ ↑ ↗
← N 74.016519°
E 22.500000°		 ← 336.39 m → N 74.016519°
E 22.510986°		 →
↑
336.45 m
↓
↑
336.45 m
↓
N 74.013493°
E 22.500000°		 ← 336.45 m →
113 190 m²		 N 74.013493°
E 22.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562515258789062 y=0.187545776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562515258789062 × 215)
    floor (0.562515258789062 × 32768)
    floor (18432.5)     		tx = 18432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187545776367188 × 215)
    floor (0.187545776367188 × 32768)
    floor (6145.5)     		ty = 6145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18432 / 6145 ti = "15/18432/6145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18432/6145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18432 ÷ 215
    18432 ÷ 32768     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6145 ÷ 215
    6145 ÷ 32768     		y = 0.187530517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187530517578125 × 2 - 1) × π
    0.62493896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96330366083902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96330366083902))-π/2
    2×atan(7.1228196183123)-π/2
    2×1.43131413679721-π/2
    2.86262827359441-1.57079632675     		φ = 1.29183195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29183195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.016519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18432 KachelY 6145 0.39269908 1.29183195 22.500000 74.016519
    Oben rechts KachelX + 1 18433 KachelY 6145 0.39289083 1.29183195 22.510986 74.016519
    Unten links KachelX 18432 KachelY + 1 6146 0.39269908 1.29177914 22.500000 74.013493
    Unten rechts KachelX + 1 18433 KachelY + 1 6146 0.39289083 1.29177914 22.510986 74.013493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29183195-1.29177914) × R
    5.28099999999032e-05 × 6371000     		dl = 336.452509999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29183195-1.29177914) × R
    5.28099999999032e-05 × 6371000     		dr = 336.452509999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39289083) × cos(1.29183195) × R
    0.000191750000000046 × 0.275360209230885 × 6371000     		do = 336.390839484742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39289083) × cos(1.29177914) × R
    0.000191750000000046 × 0.275410977271602 × 6371000     		du = 336.452859715928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29183195)-sin(1.29177914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275360209230885-0.275410977271602)×R²
    abs(0.39289083-0.39269908)×5.07680407174083e-05×R²
    0.000191750000000046×5.07680407174083e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.07680407174083e-05×40589641000000     		ar = 113189.975742893m²