Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18944 / 6656
↖ ↑ ↗
← N 72.395706°
E 28.125000°		 ← 369.47 m → N 72.395706°
E 28.135986°		 →
↑
369.52 m
↓
↑
369.52 m
↓
N 72.392383°
E 28.125000°		 ← 369.54 m →
136 540 m²		 N 72.392383°
E 28.135986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578140258789062 y=0.203140258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578140258789062 × 215)
    floor (0.578140258789062 × 32768)
    floor (18944.5)     		tx = 18944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203140258789062 × 215)
    floor (0.203140258789062 × 32768)
    floor (6656.5)     		ty = 6656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18944 / 6656 ti = "15/18944/6656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18944/6656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18944 ÷ 215
    18944 ÷ 32768     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6656 ÷ 215
    6656 ÷ 32768     		y = 0.203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203125 × 2 - 1) × π
    0.59375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86532063801563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86532063801563))-π/2
    2×atan(6.45800623636149)-π/2
    2×1.41716987783131-π/2
    2.83433975566261-1.57079632675     		φ = 1.26354343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26354343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.395706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18944 KachelY 6656 0.49087385 1.26354343 28.125000 72.395706
    Oben rechts KachelX + 1 18945 KachelY 6656 0.49106560 1.26354343 28.135986 72.395706
    Unten links KachelX 18944 KachelY + 1 6657 0.49087385 1.26348543 28.125000 72.392383
    Unten rechts KachelX + 1 18945 KachelY + 1 6657 0.49106560 1.26348543 28.135986 72.392383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26354343-1.26348543) × R
    5.79999999998915e-05 × 6371000     		dl = 369.517999999309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26354343-1.26348543) × R
    5.79999999998915e-05 × 6371000     		dr = 369.517999999309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(1.26354343) × R
    0.000191749999999991 × 0.302441330058417 × 6371000     		do = 369.474199621549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(1.26348543) × R
    0.000191749999999991 × 0.302496613293852 × 6371000     		du = 369.541735791823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26354343)-sin(1.26348543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302441330058417-0.302496613293852)×R²
    abs(0.49106560-0.49087385)×5.52832354344113e-05×R²
    0.000191749999999991×5.52832354344113e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.52832354344113e-05×40589641000000     		ar = 136539.845248812m²