Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18944 / 8704
↖ ↑ ↗
← N 64.168107°
E 28.125000°		 ← 532.31 m → N 64.168107°
E 28.135986°		 →
↑
532.36 m
↓
↑
532.36 m
↓
N 64.163319°
E 28.125000°		 ← 532.40 m →
283 404 m²		 N 64.163319°
E 28.135986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578140258789062 y=0.265640258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578140258789062 × 215)
    floor (0.578140258789062 × 32768)
    floor (18944.5)     		tx = 18944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265640258789062 × 215)
    floor (0.265640258789062 × 32768)
    floor (8704.5)     		ty = 8704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18944 / 8704 ti = "15/18944/8704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18944/8704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18944 ÷ 215
    18944 ÷ 32768     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8704 ÷ 215
    8704 ÷ 32768     		y = 0.265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265625 × 2 - 1) × π
    0.46875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47262155632813))-π/2
    2×atan(4.36065186422221)-π/2
    2×1.3453705334591-π/2
    2.69074106691819-1.57079632675     		φ = 1.11994474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11994474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.168107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18944 KachelY 8704 0.49087385 1.11994474 28.125000 64.168107
    Oben rechts KachelX + 1 18945 KachelY 8704 0.49106560 1.11994474 28.135986 64.168107
    Unten links KachelX 18944 KachelY + 1 8705 0.49087385 1.11986118 28.125000 64.163319
    Unten rechts KachelX + 1 18945 KachelY + 1 8705 0.49106560 1.11986118 28.135986 64.163319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11994474-1.11986118) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dl = 532.360759999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11994474-1.11986118) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dr = 532.360759999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(1.11994474) × R
    0.000191749999999991 × 0.435732185161907 × 6371000     		do = 532.307539882027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(1.11986118) × R
    0.000191749999999991 × 0.435807394021677 × 6371000     		du = 532.39941797707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11994474)-sin(1.11986118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435732185161907-0.435807394021677)×R²
    abs(0.49106560-0.49087385)×7.52088597703593e-05×R²
    0.000191749999999991×7.52088597703593e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.52088597703593e-05×40589641000000     		ar = 283404.102796963m²