Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1922 / 1154
↖ ↑ ↗
← N 61.522695°
W 11.074219°		 ← 4 659.86 m → N 61.522695°
W 10.986328°		 →
↑
4 663 m
↓
↑
4 663 m
↓
N 61.480760°
W 11.074219°		 ← 4 666.15 m →
21 743 596 m²		 N 61.480760°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4693603515625 y=0.2818603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4693603515625 × 212)
    floor (0.4693603515625 × 4096)
    floor (1922.5)     		tx = 1922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2818603515625 × 212)
    floor (0.2818603515625 × 4096)
    floor (1154.5)     		ty = 1154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1922 / 1154 ti = "12/1922/1154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1922/1154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1922 ÷ 212
    1922 ÷ 4096     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1154 ÷ 212
    1154 ÷ 4096     		y = 0.28173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28173828125 × 2 - 1) × π
    0.4365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37137882433057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37137882433057))-π/2
    2×atan(3.94078059533747)-π/2
    2×1.32228495914185-π/2
    2.6445699182837-1.57079632675     		φ = 1.07377359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07377359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.522695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1922 KachelY 1154 -0.19328158 1.07377359 -11.074219 61.522695
    Oben rechts KachelX + 1 1923 KachelY 1154 -0.19174760 1.07377359 -10.986328 61.522695
    Unten links KachelX 1922 KachelY + 1 1155 -0.19328158 1.07304168 -11.074219 61.480760
    Unten rechts KachelX + 1 1923 KachelY + 1 1155 -0.19174760 1.07304168 -10.986328 61.480760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07377359-1.07304168) × R
    0.000731910000000058 × 6371000     		dl = 4662.99861000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07377359-1.07304168) × R
    0.000731910000000058 × 6371000     		dr = 4662.99861000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19174760) × cos(1.07377359) × R
    0.00153398000000002 × 0.476810623357779 × 6371000     		do = 4659.86382327706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19174760) × cos(1.07304168) × R
    0.00153398000000002 × 0.477453848903823 × 6371000     		du = 4666.15005790647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07377359)-sin(1.07304168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476810623357779-0.477453848903823)×R²
    abs(-0.19174760--0.19328158)×0.00064322554604479×R²
    0.00153398000000002×0.00064322554604479×6371000²
    0.00153398000000002×0.00064322554604479×40589641000000     		ar = 21743595.8530593m²