Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19455 / 13313
↖ ↑ ↗
← N 31.942840°
E 33.739013°		 ← 1 036.65 m → N 31.942840°
E 33.750000°		 →
↑
1 036.69 m
↓
↑
1 036.69 m
↓
N 31.933517°
E 33.739013°		 ← 1 036.76 m →
1 074 743 m²		 N 31.933517°
E 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593734741210938 y=0.406295776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593734741210938 × 215)
    floor (0.593734741210938 × 32768)
    floor (19455.5)     		tx = 19455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406295776367188 × 215)
    floor (0.406295776367188 × 32768)
    floor (13313.5)     		ty = 13313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19455 / 13313 ti = "15/19455/13313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19455/13313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19455 ÷ 215
    19455 ÷ 32768     		x = 0.593719482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13313 ÷ 215
    13313 ÷ 32768     		y = 0.406280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593719482421875 × 2 - 1) × π
    0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    0.18743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.58885687493277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58885687} λ = 0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58885687493277))-π/2
    2×atan(1.80192740923756)-π/2
    2×1.06415202837228-π/2
    2.12830405674456-1.57079632675     		φ = 0.55750773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55750773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.942840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19455 KachelY 13313 0.58885687 0.55750773 33.739013 31.942840
    Oben rechts KachelX + 1 19456 KachelY 13313 0.58904862 0.55750773 33.750000 31.942840
    Unten links KachelX 19455 KachelY + 1 13314 0.58885687 0.55734501 33.739013 31.933517
    Unten rechts KachelX + 1 19456 KachelY + 1 13314 0.58904862 0.55734501 33.750000 31.933517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55750773-0.55734501) × R
    0.00016271999999995 × 6371000     		dl = 1036.68911999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55750773-0.55734501) × R
    0.00016271999999995 × 6371000     		dr = 1036.68911999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58885687-0.58904862) × cos(0.55750773) × R
    0.000191750000000046 × 0.848576337745435 × 6371000     		do = 1036.65416081133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58885687-0.58904862) × cos(0.55734501) × R
    0.000191750000000046 × 0.8486624172632 × 6371000     		du = 1036.75931892885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55750773)-sin(0.55734501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848576337745435-0.8486624172632)×R²
    abs(0.58904862-0.58885687)×8.60795177646256e-05×R²
    0.000191750000000046×8.60795177646256e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.60795177646256e-05×40589641000000     		ar = 1074742.60022467m²