Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19584 / 13440
↖ ↑ ↗
← N 30.751278°
E 35.156250°		 ← 1 049.82 m → N 30.751278°
E 35.167236°		 →
↑
1 049.94 m
↓
↑
1 049.94 m
↓
N 30.741836°
E 35.156250°		 ← 1 049.92 m →
1 102 299 m²		 N 30.741836°
E 35.167236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597671508789062 y=0.410171508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597671508789062 × 215)
    floor (0.597671508789062 × 32768)
    floor (19584.5)     		tx = 19584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410171508789062 × 215)
    floor (0.410171508789062 × 32768)
    floor (13440.5)     		ty = 13440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19584 / 13440 ti = "15/19584/13440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19584/13440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19584 ÷ 215
    19584 ÷ 32768     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13440 ÷ 215
    13440 ÷ 32768     		y = 0.41015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41015625 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564504929925781))-π/2
    2×atan(1.75857694835724)-π/2
    2×1.05375368658604-π/2
    2.10750737317209-1.57079632675     		φ = 0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19584 KachelY 13440 0.61359232 0.53671105 35.156250 30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 19585 KachelY 13440 0.61378406 0.53671105 35.167236 30.751278
    Unten links KachelX 19584 KachelY + 1 13441 0.61359232 0.53654625 35.156250 30.741836
    Unten rechts KachelX + 1 19585 KachelY + 1 13441 0.61378406 0.53654625 35.167236 30.741836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53671105-0.53654625) × R
    0.000164799999999965 × 6371000     		dl = 1049.94079999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53671105-0.53654625) × R
    0.000164799999999965 × 6371000     		dr = 1049.94079999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61378406) × cos(0.53671105) × R
    0.000191739999999996 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 1049.81591961418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61378406) × cos(0.53654625) × R
    0.000191739999999996 × 0.859479259478455 × 6371000     		du = 1049.91884051617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53671105)-sin(0.53654625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.859479259478455)×R²
    abs(0.61378406-0.61359232)×8.42525890741852e-05×R²
    0.000191739999999996×8.42525890741852e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.42525890741852e-05×40589641000000     		ar = 1102298.59941387m²