Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1992 / 1480
↖ ↑ ↗
← N 44.590467°
W  4.921875°		 ← 6 959.76 m → N 44.590467°
W  4.833984°		 →
↑
6 963.50 m
↓
↑
6 963.50 m
↓
N 44.527843°
W  4.921875°		 ← 6 967.26 m →
48 490 428 m²		 N 44.527843°
W  4.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4864501953125 y=0.3614501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4864501953125 × 212)
    floor (0.4864501953125 × 4096)
    floor (1992.5)     		tx = 1992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3614501953125 × 212)
    floor (0.3614501953125 × 4096)
    floor (1480.5)     		ty = 1480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1992 / 1480 ti = "12/1992/1480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1992/1480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1992 ÷ 212
    1992 ÷ 4096     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1480 ÷ 212
    1480 ÷ 4096     		y = 0.361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361328125 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871301087494141))-π/2
    2×atan(2.39001845457747)-π/2
    2×1.17452339704674-π/2
    2.34904679409348-1.57079632675     		φ = 0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1992 KachelY 1480 -0.08590292 0.77825047 -4.921875 44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 1993 KachelY 1480 -0.08436894 0.77825047 -4.833984 44.590467
    Unten links KachelX 1992 KachelY + 1 1481 -0.08590292 0.77715747 -4.921875 44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 1993 KachelY + 1 1481 -0.08436894 0.77715747 -4.833984 44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77825047-0.77715747) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dl = 6963.50300000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77825047-0.77715747) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dr = 6963.50300000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08436894) × cos(0.77825047) × R
    0.00153397999999999 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 6959.76259257081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08436894) × cos(0.77715747) × R
    0.00153397999999999 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 6967.25747899046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77825047)-sin(0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.712909756087121)×R²
    abs(-0.08436894--0.08590292)×0.00076689826168308×R²
    0.00153397999999999×0.00076689826168308×6371000²
    0.00153397999999999×0.00076689826168308×40589641000000     		ar = 48490427.8521098m²