Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 20 / 116
↖ ↑ ↗
← S 81.093214°
W123.750000°		 ← 48.420 km → S 81.093214°
W120.937500°		 →
↑
47.264 km
↓
↑
47.264 km
↓
S 81.518272°
W123.750000°		 ← 46.127 km →
2 234.35 km²		 S 81.518272°
W120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16015625 y=0.91015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16015625 × 27)
    floor (0.16015625 × 128)
    floor (20.5)     		tx = 20
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91015625 × 27)
    floor (0.91015625 × 128)
    floor (116.5)     		ty = 116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 20 / 116 ti = "7/20/116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/20/116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20 ÷ 27
    20 ÷ 128     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116 ÷ 27
    116 ÷ 128     		y = 0.90625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90625 × 2 - 1) × π
    -0.8125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55254403096875))-π/2
    2×atan(0.0778832762865433)-π/2
    2×0.0777263720271503-π/2
    0.155452744054301-1.57079632675     		φ = -1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20 KachelY 116 -2.15984495 -1.41534358 -123.750000 -81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 21 KachelY 116 -2.11075756 -1.41534358 -120.937500 -81.093214
    Unten links KachelX 20 KachelY + 1 117 -2.15984495 -1.42276224 -123.750000 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 21 KachelY + 1 117 -2.11075756 -1.42276224 -120.937500 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41534358--1.42276224) × R
    0.00741865999999991 × 6371000     		dl = 47264.2828599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41534358--1.42276224) × R
    0.00741865999999991 × 6371000     		dr = 47264.2828599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.11075756) × cos(-1.41534358) × R
    0.04908739 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 48420.0656536204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.11075756) × cos(-1.42276224) × R
    0.04908739 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 46126.6505711595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41534358)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.147494006831501)×R²
    abs(-2.11075756--2.15984495)×0.0073333956758494×R²
    0.04908739×0.0073333956758494×6371000²
    0.04908739×0.0073333956758494×40589641000000     		ar = 2234351617.15275m²