Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2000 / 1232
↖ ↑ ↗
← N 58.077876°
W  4.218750°		 ← 5 167.62 m → N 58.077876°
W  4.130860°		 →
↑
5 170.96 m
↓
↑
5 170.96 m
↓
N 58.031373°
W  4.218750°		 ← 5 174.35 m →
26 738 974 m²		 N 58.031373°
W  4.130860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4884033203125 y=0.3009033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4884033203125 × 212)
    floor (0.4884033203125 × 4096)
    floor (2000.5)     		tx = 2000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3009033203125 × 212)
    floor (0.3009033203125 × 4096)
    floor (1232.5)     		ty = 1232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2000 / 1232 ti = "12/2000/1232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2000/1232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2000 ÷ 212
    2000 ÷ 4096     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1232 ÷ 212
    1232 ÷ 4096     		y = 0.30078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30078125 × 2 - 1) × π
    0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25172832287891))-π/2
    2×atan(3.49638061305668)-π/2
    2×1.29222324510814-π/2
    2.58444649021628-1.57079632675     		φ = 1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2000 KachelY 1232 -0.07363108 1.01365016 -4.218750 58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 2001 KachelY 1232 -0.07209710 1.01365016 -4.130860 58.077876
    Unten links KachelX 2000 KachelY + 1 1233 -0.07363108 1.01283852 -4.218750 58.031373
    Unten rechts KachelX + 1 2001 KachelY + 1 1233 -0.07209710 1.01283852 -4.130860 58.031373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01365016-1.01283852) × R
    0.000811640000000002 × 6371000     		dl = 5170.95844000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01365016-1.01283852) × R
    0.000811640000000002 × 6371000     		dr = 5170.95844000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07209710) × cos(1.01365016) × R
    0.00153398 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 5167.62412971424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07209710) × cos(1.01283852) × R
    0.00153398 × 0.529454832823138 × 6371000     		du = 5174.35497589668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01365016)-sin(1.01283852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.529454832823138)×R²
    abs(-0.07209710--0.07363108)×0.000688719474578714×R²
    0.00153398×0.000688719474578714×6371000²
    0.00153398×0.000688719474578714×40589641000000     		ar = 26738973.539109m²