Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2044 / 6156
↖ ↑ ↗
← N 40.780542°
W135.087891°		 ← 1 850.04 m → N 40.780542°
W135.065918°		 →
↑
1 850.33 m
↓
↑
1 850.33 m
↓
N 40.763901°
W135.087891°		 ← 1 850.51 m →
3 423 619 m²		 N 40.763901°
W135.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124786376953125 y=0.375762939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124786376953125 × 214)
    floor (0.124786376953125 × 16384)
    floor (2044.5)     		tx = 2044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375762939453125 × 214)
    floor (0.375762939453125 × 16384)
    floor (6156.5)     		ty = 6156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2044 / 6156 ti = "14/2044/6156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2044/6156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2044 ÷ 214
    2044 ÷ 16384     		x = 0.124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6156 ÷ 214
    6156 ÷ 16384     		y = 0.375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    0.24853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.780796221011475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35772847} λ = -2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.780796221011475))-π/2
    2×atan(2.1832098912272)-π/2
    2×1.14127552275496-π/2
    2.28255104550992-1.57079632675     		φ = 0.71175472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71175472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.780542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2044 KachelY 6156 -2.35772847 0.71175472 -135.087891 40.780542
    Oben rechts KachelX + 1 2045 KachelY 6156 -2.35734498 0.71175472 -135.065918 40.780542
    Unten links KachelX 2044 KachelY + 1 6157 -2.35772847 0.71146429 -135.087891 40.763901
    Unten rechts KachelX + 1 2045 KachelY + 1 6157 -2.35734498 0.71146429 -135.065918 40.763901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71175472-0.71146429) × R
    0.000290429999999953 × 6371000     		dl = 1850.3295299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71175472-0.71146429) × R
    0.000290429999999953 × 6371000     		dr = 1850.3295299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35772847--2.35734498) × cos(0.71175472) × R
    0.000383489999999931 × 0.757216923308942 × 6371000     		do = 1850.04358626637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35772847--2.35734498) × cos(0.71146429) × R
    0.000383489999999931 × 0.757406589640183 × 6371000     		du = 1850.50698185202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71175472)-sin(0.71146429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757216923308942-0.757406589640183)×R²
    abs(-2.35734498--2.35772847)×0.000189666331240623×R²
    0.000383489999999931×0.000189666331240623×6371000²
    0.000383489999999931×0.000189666331240623×40589641000000     		ar = 3423619.02078807m²