Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2052 / 6148
↖ ↑ ↗
← S 66.583217°
W 89.824219°		 ← 1 942 m → S 66.583217°
W 89.780273°		 →
↑
1 941.31 m
↓
↑
1 941.31 m
↓
S 66.600676°
W 89.824219°		 ← 1 940.63 m →
3 768 691 m²		 S 66.600676°
W 89.780273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.25054931640625 y=0.75054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.25054931640625 × 213)
    floor (0.25054931640625 × 8192)
    floor (2052.5)     		tx = 2052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75054931640625 × 213)
    floor (0.75054931640625 × 8192)
    floor (6148.5)     		ty = 6148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2052 / 6148 ti = "13/2052/6148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2052/6148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2052 ÷ 213
    2052 ÷ 8192     		x = 0.25048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6148 ÷ 213
    6148 ÷ 8192     		y = 0.75048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    -0.4990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.56772837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57386428832568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.56772837} λ = -1.56772837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57386428832568))-π/2
    2×atan(0.207242787129374)-π/2
    2×0.20434997955125-π/2
    0.408699959102499-1.57079632675     		φ = -1.16209637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.56772837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -89.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16209637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.583217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2052 KachelY 6148 -1.56772837 -1.16209637 -89.824219 -66.583217
    Oben rechts KachelX + 1 2053 KachelY 6148 -1.56696137 -1.16209637 -89.780273 -66.583217
    Unten links KachelX 2052 KachelY + 1 6149 -1.56772837 -1.16240108 -89.824219 -66.600676
    Unten rechts KachelX + 1 2053 KachelY + 1 6149 -1.56696137 -1.16240108 -89.780273 -66.600676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16209637--1.16240108) × R
    0.000304709999999986 × 6371000     		dl = 1941.30740999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16209637--1.16240108) × R
    0.000304709999999986 × 6371000     		dr = 1941.30740999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.56772837--1.56696137) × cos(-1.16209637) × R
    0.000766999999999962 × 0.39741669477909 × 6371000     		do = 1941.99933178953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.56772837--1.56696137) × cos(-1.16240108) × R
    0.000766999999999962 × 0.397137062780417 × 6371000     		du = 1940.63289408899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16209637)-sin(-1.16240108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39741669477909-0.397137062780417)×R²
    abs(-1.56696137--1.56772837)×0.000279631998672758×R²
    0.000766999999999962×0.000279631998672758×6371000²
    0.000766999999999962×0.000279631998672758×40589641000000     		ar = 3768691.38436031m²