Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20740 / 4356
↖ ↑ ↗
← N 78.621339°
E 47.856445°		 ← 241.02 m → N 78.621339°
E 47.867432°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
N 78.619171°
E 47.856445°		 ← 241.07 m →
58 095 m²		 N 78.619171°
E 47.867432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632949829101562 y=0.132949829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632949829101562 × 215)
    floor (0.632949829101562 × 32768)
    floor (20740.5)     		tx = 20740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132949829101562 × 215)
    floor (0.132949829101562 × 32768)
    floor (4356.5)     		ty = 4356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20740 / 4356 ti = "15/20740/4356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20740/4356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20740 ÷ 215
    20740 ÷ 32768     		x = 0.6329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4356 ÷ 215
    4356 ÷ 32768     		y = 0.1329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1329345703125 × 2 - 1) × π
    0.734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30634011452014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83525254} λ = 0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30634011452014))-π/2
    2×atan(10.0376208045213)-π/2
    2×1.47149877521113-π/2
    2.94299755042227-1.57079632675     		φ = 1.37220122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37220122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.621339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20740 KachelY 4356 0.83525254 1.37220122 47.856445 78.621339
    Oben rechts KachelX + 1 20741 KachelY 4356 0.83544429 1.37220122 47.867432 78.621339
    Unten links KachelX 20740 KachelY + 1 4357 0.83525254 1.37216339 47.856445 78.619171
    Unten rechts KachelX + 1 20741 KachelY + 1 4357 0.83544429 1.37216339 47.867432 78.619171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37220122-1.37216339) × R
    3.78299999999054e-05 × 6371000     		dl = 241.014929999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37220122-1.37216339) × R
    3.78299999999054e-05 × 6371000     		dr = 241.014929999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83525254-0.83544429) × cos(1.37220122) × R
    0.000191749999999935 × 0.197292246312964 × 6371000     		do = 241.019951816503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83525254-0.83544429) × cos(1.37216339) × R
    0.000191749999999935 × 0.19732933261253 × 6371000     		du = 241.06525789569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37220122)-sin(1.37216339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197292246312964-0.19732933261253)×R²
    abs(0.83544429-0.83525254)×3.70862995659194e-05×R²
    0.000191749999999935×3.70862995659194e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.70862995659194e-05×40589641000000     		ar = 58094.8665431844m²