Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20752 / 4368
↖ ↑ ↗
← N 78.595299°
E 47.988281°		 ← 241.56 m → N 78.595299°
E 47.999268°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
N 78.593127°
E 47.988281°		 ← 241.61 m →
58 365 m²		 N 78.593127°
E 47.999268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633316040039062 y=0.133316040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633316040039062 × 215)
    floor (0.633316040039062 × 32768)
    floor (20752.5)     		tx = 20752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133316040039062 × 215)
    floor (0.133316040039062 × 32768)
    floor (4368.5)     		ty = 4368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20752 / 4368 ti = "15/20752/4368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20752/4368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20752 ÷ 215
    20752 ÷ 32768     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4368 ÷ 215
    4368 ÷ 32768     		y = 0.13330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30403914333838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30403914333838))-π/2
    2×atan(10.014551079881)-π/2
    2×1.47127153713725-π/2
    2.94254307427449-1.57079632675     		φ = 1.37174675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37174675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.595299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20752 KachelY 4368 0.83755351 1.37174675 47.988281 78.595299
    Oben rechts KachelX + 1 20753 KachelY 4368 0.83774526 1.37174675 47.999268 78.595299
    Unten links KachelX 20752 KachelY + 1 4369 0.83755351 1.37170883 47.988281 78.593127
    Unten rechts KachelX + 1 20753 KachelY + 1 4369 0.83774526 1.37170883 47.999268 78.593127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37174675-1.37170883) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dl = 241.588320000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37174675-1.37170883) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dr = 241.588320000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83774526) × cos(1.37174675) × R
    0.000191750000000046 × 0.197737763187749 × 6371000     		do = 241.564212717417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83774526) × cos(1.37170883) × R
    0.000191750000000046 × 0.197774934313471 × 6371000     		du = 241.609622423566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37174675)-sin(1.37170883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197737763187749-0.197774934313471)×R²
    abs(0.83774526-0.83755351)×3.7171125722546e-05×R²
    0.000191750000000046×3.7171125722546e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.7171125722546e-05×40589641000000     		ar = 58364.5775573242m²