Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20768 / 4384
↖ ↑ ↗
← N 78.560488°
E 48.164062°		 ← 242.29 m → N 78.560488°
E 48.175049°		 →
↑
242.29 m
↓
↑
242.29 m
↓
N 78.558309°
E 48.164062°		 ← 242.34 m →
58 710 m²		 N 78.558309°
E 48.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633804321289062 y=0.133804321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633804321289062 × 215)
    floor (0.633804321289062 × 32768)
    floor (20768.5)     		tx = 20768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133804321289062 × 215)
    floor (0.133804321289062 × 32768)
    floor (4384.5)     		ty = 4384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20768 / 4384 ti = "15/20768/4384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20768/4384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20768 ÷ 215
    20768 ÷ 32768     		x = 0.6337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4384 ÷ 215
    4384 ÷ 32768     		y = 0.1337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84062147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    0.732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84062147} λ = 0.84062147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3009711817627))-π/2
    2×atan(9.98387390423035)-π/2
    2×1.47096775465594-π/2
    2.94193550931187-1.57079632675     		φ = 1.37113918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84062147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.164062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37113918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.560488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20768 KachelY 4384 0.84062147 1.37113918 48.164062 78.560488
    Oben rechts KachelX + 1 20769 KachelY 4384 0.84081322 1.37113918 48.175049 78.560488
    Unten links KachelX 20768 KachelY + 1 4385 0.84062147 1.37110115 48.164062 78.558309
    Unten rechts KachelX + 1 20769 KachelY + 1 4385 0.84081322 1.37110115 48.175049 78.558309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37113918-1.37110115) × R
    3.80299999998002e-05 × 6371000     		dl = 242.289129998727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37113918-1.37110115) × R
    3.80299999998002e-05 × 6371000     		dr = 242.289129998727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84062147-0.84081322) × cos(1.37113918) × R
    0.000191750000000046 × 0.198333300157594 × 6371000     		do = 242.291744054606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84062147-0.84081322) × cos(1.37110115) × R
    0.000191750000000046 × 0.198370574534318 × 6371000     		du = 242.337279896231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37113918)-sin(1.37110115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198333300157594-0.198370574534318)×R²
    abs(0.84081322-0.84062147)×3.72743767238781e-05×R²
    0.000191750000000046×3.72743767238781e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.72743767238781e-05×40589641000000     		ar = 58710.1722991666m²