Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2103 / 1383
↖ ↑ ↗
← N 50.345461°
E  4.833984°		 ← 6 236.70 m → N 50.345461°
E  4.921875°		 →
↑
6 240.39 m
↓
↑
6 240.39 m
↓
N 50.289339°
E  4.833984°		 ← 6 244.07 m →
38 942 466 m²		 N 50.289339°
E  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5135498046875 y=0.3377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5135498046875 × 212)
    floor (0.5135498046875 × 4096)
    floor (2103.5)     		tx = 2103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3377685546875 × 212)
    floor (0.3377685546875 × 4096)
    floor (1383.5)     		ty = 1383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2103 / 1383 ti = "12/2103/1383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2103/1383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2103 ÷ 212
    2103 ÷ 4096     		x = 0.513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1383 ÷ 212
    1383 ÷ 4096     		y = 0.337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513427734375 × 2 - 1) × π
    0.02685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08436894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337646484375 × 2 - 1) × π
    0.32470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08436894} λ = 0.08436894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02009722391479))-π/2
    2×atan(2.77346439792296)-π/2
    2×1.22474518716945-π/2
    2.44949037433889-1.57079632675     		φ = 0.87869405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08436894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87869405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.345461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2103 KachelY 1383 0.08436894 0.87869405 4.833984 50.345461
    Oben rechts KachelX + 1 2104 KachelY 1383 0.08590292 0.87869405 4.921875 50.345461
    Unten links KachelX 2103 KachelY + 1 1384 0.08436894 0.87771455 4.833984 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 2104 KachelY + 1 1384 0.08590292 0.87771455 4.921875 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87869405-0.87771455) × R
    0.000979500000000022 × 6371000     		dl = 6240.39450000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87869405-0.87771455) × R
    0.000979500000000022 × 6371000     		dr = 6240.39450000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08436894-0.08590292) × cos(0.87869405) × R
    0.00153397999999999 × 0.638157147019085 × 6371000     		do = 6236.70123374856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08436894-0.08590292) × cos(0.87771455) × R
    0.00153397999999999 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 6244.0682752929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87869405)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638157147019085-0.638910963826672)×R²
    abs(0.08590292-0.08436894)×0.000753816807587904×R²
    0.00153397999999999×0.000753816807587904×6371000²
    0.00153397999999999×0.000753816807587904×40589641000000     		ar = 38942465.813512m²