Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2105 / 1385
↖ ↑ ↗
← N 50.233152°
E  5.009765°		 ← 6 251.48 m → N 50.233152°
E  5.097656°		 →
↑
6 255.11 m
↓
↑
6 255.11 m
↓
N 50.176898°
E  5.009765°		 ← 6 258.85 m →
39 126 758 m²		 N 50.176898°
E  5.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5140380859375 y=0.3382568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5140380859375 × 212)
    floor (0.5140380859375 × 4096)
    floor (2105.5)     		tx = 2105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3382568359375 × 212)
    floor (0.3382568359375 × 4096)
    floor (1385.5)     		ty = 1385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2105 / 1385 ti = "12/2105/1385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2105/1385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2105 ÷ 212
    2105 ÷ 4096     		x = 0.513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1385 ÷ 212
    1385 ÷ 4096     		y = 0.338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513916015625 × 2 - 1) × π
    0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338134765625 × 2 - 1) × π
    0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08743690} λ = 0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01702926233911))-π/2
    2×atan(2.76496855484252)-π/2
    2×1.22376510995358-π/2
    2.44753021990717-1.57079632675     		φ = 0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2105 KachelY 1385 0.08743690 0.87673389 5.009765 50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 2106 KachelY 1385 0.08897089 0.87673389 5.097656 50.233152
    Unten links KachelX 2105 KachelY + 1 1386 0.08743690 0.87575208 5.009765 50.176898
    Unten rechts KachelX + 1 2106 KachelY + 1 1386 0.08897089 0.87575208 5.097656 50.176898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87673389-0.87575208) × R
    0.000981809999999972 × 6371000     		dl = 6255.11150999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87673389-0.87575208) × R
    0.000981809999999972 × 6371000     		dr = 6255.11150999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08743690-0.08897089) × cos(0.87673389) × R
    0.00153399 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 6251.47879318714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08743690-0.08897089) × cos(0.87575208) × R
    0.00153399 × 0.640419422818882 × 6371000     		du = 6258.8512259017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87673389)-sin(0.87575208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.640419422818882)×R²
    abs(0.08897089-0.08743690)×0.000754363529890556×R²
    0.00153399×0.000754363529890556×6371000²
    0.00153399×0.000754363529890556×40589641000000     		ar = 39126757.7911761m²