Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2112 / 1216
↖ ↑ ↗
← N 58.813742°
E  5.625000°		 ← 5 060.67 m → N 58.813742°
E  5.712891°		 →
↑
5 063.99 m
↓
↑
5 063.99 m
↓
N 58.768200°
E  5.625000°		 ← 5 067.31 m →
25 643 982 m²		 N 58.768200°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5157470703125 y=0.2969970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5157470703125 × 212)
    floor (0.5157470703125 × 4096)
    floor (2112.5)     		tx = 2112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2969970703125 × 212)
    floor (0.2969970703125 × 4096)
    floor (1216.5)     		ty = 1216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2112 / 1216 ti = "12/2112/1216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2112/1216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2112 ÷ 212
    2112 ÷ 4096     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1216 ÷ 212
    1216 ÷ 4096     		y = 0.296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296875 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27627201548437))-π/2
    2×atan(3.58325647014846)-π/2
    2×1.29864488256632-π/2
    2.59728976513265-1.57079632675     		φ = 1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2112 KachelY 1216 0.09817477 1.02649344 5.625000 58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 2113 KachelY 1216 0.09970875 1.02649344 5.712891 58.813742
    Unten links KachelX 2112 KachelY + 1 1217 0.09817477 1.02569859 5.625000 58.768200
    Unten rechts KachelX + 1 2113 KachelY + 1 1217 0.09970875 1.02569859 5.712891 58.768200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02649344-1.02569859) × R
    0.000794850000000125 × 6371000     		dl = 5063.98935000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02649344-1.02569859) × R
    0.000794850000000125 × 6371000     		dr = 5063.98935000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.09970875) × cos(1.02649344) × R
    0.00153398 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 5060.66593282301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.09970875) × cos(1.02569859) × R
    0.00153398 × 0.518501665428924 × 6371000     		du = 5067.30981794454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02649344)-sin(1.02569859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.518501665428924)×R²
    abs(0.09970875-0.09817477)×0.000679821369562461×R²
    0.00153398×0.000679821369562461×6371000²
    0.00153398×0.000679821369562461×40589641000000     		ar = 25643982.0196056m²