Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2116 / 1220
↖ ↑ ↗
← N 58.631216°
E  5.976562°		 ← 5 087.27 m → N 58.631216°
E  6.064453°		 →
↑
5 090.56 m
↓
↑
5 090.56 m
↓
N 58.585436°
E  5.976562°		 ← 5 093.94 m →
25 914 026 m²		 N 58.585436°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5167236328125 y=0.2979736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5167236328125 × 212)
    floor (0.5167236328125 × 4096)
    floor (2116.5)     		tx = 2116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2979736328125 × 212)
    floor (0.2979736328125 × 4096)
    floor (1220.5)     		ty = 1220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2116 / 1220 ti = "12/2116/1220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2116/1220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2116 ÷ 212
    2116 ÷ 4096     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1220 ÷ 212
    1220 ÷ 4096     		y = 0.2978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2978515625 × 2 - 1) × π
    0.404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27013609233301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27013609233301))-π/2
    2×atan(3.56133720006522)-π/2
    2×1.29705205082693-π/2
    2.59410410165386-1.57079632675     		φ = 1.02330777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02330777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.631216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2116 KachelY 1220 0.10431069 1.02330777 5.976562 58.631216
    Oben rechts KachelX + 1 2117 KachelY 1220 0.10584467 1.02330777 6.064453 58.631216
    Unten links KachelX 2116 KachelY + 1 1221 0.10431069 1.02250875 5.976562 58.585436
    Unten rechts KachelX + 1 2117 KachelY + 1 1221 0.10584467 1.02250875 6.064453 58.585436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02330777-1.02250875) × R
    0.000799019999999873 × 6371000     		dl = 5090.55641999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02330777-1.02250875) × R
    0.000799019999999873 × 6371000     		dr = 5090.55641999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10584467) × cos(1.02330777) × R
    0.00153398 × 0.520544515879301 × 6371000     		do = 5087.27456798102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10584467) × cos(1.02250875) × R
    0.00153398 × 0.521226580507597 × 6371000     		du = 5093.94037644005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02330777)-sin(1.02250875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520544515879301-0.521226580507597)×R²
    abs(0.10584467-0.10431069)×0.000682064628295898×R²
    0.00153398×0.000682064628295898×6371000²
    0.00153398×0.000682064628295898×40589641000000     		ar = 25914025.928059m²