Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2120 / 1224
↖ ↑ ↗
← N 58.447733°
E  6.328125°		 ← 5 113.97 m → N 58.447733°
E  6.416016°		 →
↑
5 117.31 m
↓
↑
5 117.31 m
↓
N 58.401712°
E  6.328125°		 ← 5 120.66 m →
26 186 911 m²		 N 58.401712°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5177001953125 y=0.2989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5177001953125 × 212)
    floor (0.5177001953125 × 4096)
    floor (2120.5)     		tx = 2120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2989501953125 × 212)
    floor (0.2989501953125 × 4096)
    floor (1224.5)     		ty = 1224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2120 / 1224 ti = "12/2120/1224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2120/1224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2120 ÷ 212
    2120 ÷ 4096     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1224 ÷ 212
    1224 ÷ 4096     		y = 0.298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298828125 × 2 - 1) × π
    0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26400016918164))-π/2
    2×atan(3.53955201315604)-π/2
    2×1.29545085226489-π/2
    2.59090170452978-1.57079632675     		φ = 1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2120 KachelY 1224 0.11044662 1.02010538 6.328125 58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 2121 KachelY 1224 0.11198060 1.02010538 6.416016 58.447733
    Unten links KachelX 2120 KachelY + 1 1225 0.11044662 1.01930216 6.328125 58.401712
    Unten rechts KachelX + 1 2121 KachelY + 1 1225 0.11198060 1.01930216 6.416016 58.401712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02010538-1.01930216) × R
    0.000803219999999882 × 6371000     		dl = 5117.31461999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02010538-1.01930216) × R
    0.000803219999999882 × 6371000     		dr = 5117.31461999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11198060) × cos(1.02010538) × R
    0.00153398 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 5113.97082288195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11198060) × cos(1.01930216) × R
    0.00153398 × 0.52396045883088 × 6371000     		du = 5120.65853260484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02010538)-sin(1.01930216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.52396045883088)×R²
    abs(0.11198060-0.11044662)×0.000684305628391724×R²
    0.00153398×0.000684305628391724×6371000²
    0.00153398×0.000684305628391724×40589641000000     		ar = 26186910.6234554m²