Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2120 / 1480
↖ ↑ ↗
← N 44.590467°
E  6.328125°		 ← 6 959.76 m → N 44.590467°
E  6.416016°		 →
↑
6 963.50 m
↓
↑
6 963.50 m
↓
N 44.527843°
E  6.328125°		 ← 6 967.26 m →
48 490 428 m²		 N 44.527843°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5177001953125 y=0.3614501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5177001953125 × 212)
    floor (0.5177001953125 × 4096)
    floor (2120.5)     		tx = 2120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3614501953125 × 212)
    floor (0.3614501953125 × 4096)
    floor (1480.5)     		ty = 1480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2120 / 1480 ti = "12/2120/1480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2120/1480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2120 ÷ 212
    2120 ÷ 4096     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1480 ÷ 212
    1480 ÷ 4096     		y = 0.361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361328125 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871301087494141))-π/2
    2×atan(2.39001845457747)-π/2
    2×1.17452339704674-π/2
    2.34904679409348-1.57079632675     		φ = 0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2120 KachelY 1480 0.11044662 0.77825047 6.328125 44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 2121 KachelY 1480 0.11198060 0.77825047 6.416016 44.590467
    Unten links KachelX 2120 KachelY + 1 1481 0.11044662 0.77715747 6.328125 44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 2121 KachelY + 1 1481 0.11198060 0.77715747 6.416016 44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77825047-0.77715747) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dl = 6963.50300000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77825047-0.77715747) × R
    0.00109300000000001 × 6371000     		dr = 6963.50300000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11198060) × cos(0.77825047) × R
    0.00153398 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 6959.76259257087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11198060) × cos(0.77715747) × R
    0.00153398 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 6967.25747899052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77825047)-sin(0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.712909756087121)×R²
    abs(0.11198060-0.11044662)×0.00076689826168308×R²
    0.00153398×0.00076689826168308×6371000²
    0.00153398×0.00076689826168308×40589641000000     		ar = 48490427.8521103m²