Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2121 / 1353
↖ ↑ ↗
← N 51.998411°
E  6.416016°		 ← 6 017.06 m → N 51.998411°
E  6.503906°		 →
↑
6 020.72 m
↓
↑
6 020.72 m
↓
N 51.944265°
E  6.416016°		 ← 6 024.34 m →
36 248 981 m²		 N 51.944265°
E  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5179443359375 y=0.3304443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5179443359375 × 212)
    floor (0.5179443359375 × 4096)
    floor (2121.5)     		tx = 2121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3304443359375 × 212)
    floor (0.3304443359375 × 4096)
    floor (1353.5)     		ty = 1353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2121 / 1353 ti = "12/2121/1353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2121/1353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2121 ÷ 212
    2121 ÷ 4096     		x = 0.517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1353 ÷ 212
    1353 ÷ 4096     		y = 0.330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517822265625 × 2 - 1) × π
    0.03564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11198060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330322265625 × 2 - 1) × π
    0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11198060} λ = 0.11198060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06611664755005))-π/2
    2×atan(2.90408000800823)-π/2
    2×1.23916989687603-π/2
    2.47833979375205-1.57079632675     		φ = 0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11198060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2121 KachelY 1353 0.11198060 0.90754347 6.416016 51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 2122 KachelY 1353 0.11351458 0.90754347 6.503906 51.998411
    Unten links KachelX 2121 KachelY + 1 1354 0.11198060 0.90659845 6.416016 51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 2122 KachelY + 1 1354 0.11351458 0.90659845 6.503906 51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90754347-0.90659845) × R
    0.000945020000000074 × 6371000     		dl = 6020.72242000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90754347-0.90659845) × R
    0.000945020000000074 × 6371000     		dr = 6020.72242000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11198060-0.11351458) × cos(0.90754347) × R
    0.00153398 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 6017.06497365377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11198060-0.11351458) × cos(0.90659845) × R
    0.00153398 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 6024.33993354838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90754347)-sin(0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.616427730073519)×R²
    abs(0.11351458-0.11198060)×0.000744394749246591×R²
    0.00153398×0.000744394749246591×6371000²
    0.00153398×0.000744394749246591×40589641000000     		ar = 36248980.9442654m²