Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2122 / 1354
↖ ↑ ↗
← N 51.944265°
E  6.503906°		 ← 6 024.34 m → N 51.944265°
E  6.591797°		 →
↑
6 027.99 m
↓
↑
6 027.99 m
↓
N 51.890054°
E  6.503906°		 ← 6 031.62 m →
36 336 573 m²		 N 51.890054°
E  6.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5181884765625 y=0.3306884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5181884765625 × 212)
    floor (0.5181884765625 × 4096)
    floor (2122.5)     		tx = 2122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3306884765625 × 212)
    floor (0.3306884765625 × 4096)
    floor (1354.5)     		ty = 1354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2122 / 1354 ti = "12/2122/1354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2122/1354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2122 ÷ 212
    2122 ÷ 4096     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1354 ÷ 212
    1354 ÷ 4096     		y = 0.33056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33056640625 × 2 - 1) × π
    0.3388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06458266676221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06458266676221))-π/2
    2×atan(2.89962862011422)-π/2
    2×1.23869738822162-π/2
    2.47739477644325-1.57079632675     		φ = 0.90659845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90659845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.944265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2122 KachelY 1354 0.11351458 0.90659845 6.503906 51.944265
    Oben rechts KachelX + 1 2123 KachelY 1354 0.11504856 0.90659845 6.591797 51.944265
    Unten links KachelX 2122 KachelY + 1 1355 0.11351458 0.90565229 6.503906 51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 2123 KachelY + 1 1355 0.11504856 0.90565229 6.591797 51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90659845-0.90565229) × R
    0.000946159999999918 × 6371000     		dl = 6027.98535999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90659845-0.90565229) × R
    0.000946159999999918 × 6371000     		dr = 6027.98535999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11504856) × cos(0.90659845) × R
    0.00153397999999999 × 0.616427730073519 × 6371000     		do = 6024.33993354832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11504856) × cos(0.90565229) × R
    0.00153397999999999 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 6031.61827954403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90659845)-sin(0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616427730073519-0.617172471298336)×R²
    abs(0.11504856-0.11351458)×0.000744741224817047×R²
    0.00153397999999999×0.000744741224817047×6371000²
    0.00153397999999999×0.000744741224817047×40589641000000     		ar = 36336572.5154068m²