Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2126 / 1368
↖ ↑ ↗
← N 51.179343°
E  6.855469°		 ← 6 126.54 m → N 51.179343°
E  6.943359°		 →
↑
6 130.18 m
↓
↑
6 130.18 m
↓
N 51.124213°
E  6.855469°		 ← 6 133.86 m →
37 579 197 m²		 N 51.124213°
E  6.943359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5191650390625 y=0.3341064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5191650390625 × 212)
    floor (0.5191650390625 × 4096)
    floor (2126.5)     		tx = 2126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3341064453125 × 212)
    floor (0.3341064453125 × 4096)
    floor (1368.5)     		ty = 1368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2126 / 1368 ti = "12/2126/1368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2126/1368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2126 ÷ 212
    2126 ÷ 4096     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1368 ÷ 212
    1368 ÷ 4096     		y = 0.333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333984375 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2
    2×atan(2.8380208792274)-π/2
    2×1.23202218538612-π/2
    2.46404437077225-1.57079632675     		φ = 0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2126 KachelY 1368 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 2127 KachelY 1368 0.12118448 0.89324804 6.943359 51.179343
    Unten links KachelX 2126 KachelY + 1 1369 0.11965050 0.89228584 6.855469 51.124213
    Unten rechts KachelX + 1 2127 KachelY + 1 1369 0.12118448 0.89228584 6.943359 51.124213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89324804-0.89228584) × R
    0.000962200000000024 × 6371000     		dl = 6130.17620000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89324804-0.89228584) × R
    0.000962200000000024 × 6371000     		dr = 6130.17620000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12118448) × cos(0.89324804) × R
    0.00153397999999999 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 6126.53625698533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12118448) × cos(0.89228584) × R
    0.00153397999999999 × 0.627634122078673 × 6371000     		du = 6133.85985222491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.89228584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.627634122078673)×R²
    abs(0.12118448-0.11965050)×0.000749371257152465×R²
    0.00153397999999999×0.000749371257152465×6371000²
    0.00153397999999999×0.000749371257152465×40589641000000     		ar = 37579197.114952m²