Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2127 / 1391
↖ ↑ ↗
← N 49.894634°
E  6.943359°		 ← 6 295.71 m → N 49.894634°
E  7.031250°		 →
↑
6 299.39 m
↓
↑
6 299.39 m
↓
N 49.837983°
E  6.943359°		 ← 6 303.10 m →
39 682 415 m²		 N 49.837983°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5194091796875 y=0.3397216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5194091796875 × 212)
    floor (0.5194091796875 × 4096)
    floor (2127.5)     		tx = 2127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3397216796875 × 212)
    floor (0.3397216796875 × 4096)
    floor (1391.5)     		ty = 1391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2127 / 1391 ti = "12/2127/1391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2127/1391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2127 ÷ 212
    2127 ÷ 4096     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1391 ÷ 212
    1391 ÷ 4096     		y = 0.339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339599609375 × 2 - 1) × π
    0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00782537761206))-π/2
    2×atan(2.73963685682764)-π/2
    2×1.22081098803036-π/2
    2.44162197606071-1.57079632675     		φ = 0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2127 KachelY 1391 0.12118448 0.87082565 6.943359 49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 2128 KachelY 1391 0.12271846 0.87082565 7.031250 49.894634
    Unten links KachelX 2127 KachelY + 1 1392 0.12118448 0.86983689 6.943359 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 2128 KachelY + 1 1392 0.12271846 0.86983689 7.031250 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87082565-0.86983689) × R
    0.000988760000000033 × 6371000     		dl = 6299.38996000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87082565-0.86983689) × R
    0.000988760000000033 × 6371000     		dr = 6299.38996000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12271846) × cos(0.87082565) × R
    0.00153398 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 6295.71162439427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12271846) × cos(0.86983689) × R
    0.00153398 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 6303.09950400433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87082565)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644951208354603)×R²
    abs(0.12271846-0.12118448)×0.000755949018203306×R²
    0.00153398×0.000755949018203306×6371000²
    0.00153398×0.000755949018203306×40589641000000     		ar = 39682415.3980314m²